DM de maths sur le nombre d'or (Terminal ES)

[inviteca773e56]

Bonjour, je suis vraiment perdue et incapable de faire ce qui est demandé ci-dessous. Je ne comprends même pas la première question, alors un petit coup de mains ou des pistes ne serait vraiment pas de refus étant donné que je dois le rendre lundi ...

En maths, le nombre d’or est noté φ, est défini comme étant la racine positive de l’équation
x² = x + 1. (E)
1°) Calculer φ . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-4 près.
2°)En partant de (E), montrer que φ vérifie la relation : φ=1+ (1/ φ). (F)
3°) Etablir à partir de (E) la relation φ ³= 2 φ+1.
4°)Etablir de même la relation : φ⁴ = 3 φ +2.
5°) en écrivant φn sous la forme : φⁿ=a_nφ+b_n, où n est un entier naturel, n ≥2, et où a_n et b_n sont des entiers naturels, exprimer φⁿ⁺¹ en fonction de φ

[Jon83]

En maths, le nombre d’or est noté φ, est défini comme étant la racine positive de l’équation
x² = x + 1. (E)
1°) Calculer φ . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-4 près.

Tu peux écrire

Tu dois reconnaître une équation du deuxième degré que tu dois savoir résoudre (en quelle classe es-tu?)

[inviteca773e56]

Je suis en terminale ES

Et oui, mais pour moi c'est un polynome du second degrés.
Je ne sais meme pas quoi calculer. Alpha, Beta, Delta ?

[inviteea028771]

Tu devrais savoir résoudre une équation du second degré, c'est au programme de la 1ère ES.

Enfin bon, je vais faire un petit rappel.

Pour résoudre l'équation , il faut d'abord calculer la quantité suivante, appelée discriminant :



Ensuite, en fonction du signe de , on obtient le nombre de solutions de l'équation :
- Si , il n'y a pas de solution
- Si , il y a une solution qui est
- Si , il y a deux solutions qui sont et


Maintenant applique cela à l'équation

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca773e56]

1°)
x² = x+1
-x²+x+1=0

∆ = 1² - 4 x -1 x 1 = 5
Donc Delta est positif.
x_{1 =} (-1-√5)/(2x-1)= (1+√5)/2
x_{2 =} (-1+√5)/(2x-1)= (1-√5)/2

Donc φ a pour solution ( (1+√5)/2; (1-√5)/2 ) ?
(Donc φ ≈ 1,6180 et ≈ -0,6180 )

[inviteea028771]

Exact. Mais n'oublie pas que dans ton énoncé est la solution positive de l'équation

[inviteca773e56]

D'accprd donc en clair je finis tout l'exercice en remplaçant φ par sa valeur positive qui est (1+√5)/2 ?

[inviteea028771]

Non, tu n'a pas besoin de remplacer par sa valeur pour la suite de l'exercice, puisqu'on te demande les résultats en fonction de

[inviteca773e56]

euhm, je ne comprends pas ...

[inviteea028771]

Je dis juste que tu n'as pas besoin de la valeur de pour répondre aux questions suivantes, juste de savoir que vérifie

[inviteca773e56]

2°)
On sait que φ ≈ 1,6180
Donc 1+ (1/1,6180). L'équation φ=1+ (1/ φ) est donc vérifiée.
?