DM de maths sur le nombre d'or (Terminal ES)

[inviteca773e56]

Bonjour, je suis vraiment perdue et incapable de faire ce qui est demandé ci-dessous. Je ne comprends même pas la première question, alors un petit coup de mains ou des pistes ne serait vraiment pas de refus étant donné que je dois le rendre lundi ...

En maths, le nombre d’or est noté φ, est défini comme étant la racine positive de l’équation
x² = x + 1. (E)
1°) Calculer φ . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-4 près.
2°)En partant de (E), montrer que φ vérifie la relation : φ=1+ (1/ φ). (F)
3°) Etablir à partir de (E) la relation φ ³= 2 φ+1.
4°)Etablir de même la relation : φ⁴ = 3 φ +2.
5°) en écrivant φn sous la forme : φⁿ=a_nφ+b_n, où n est un entier naturel, n ≥2, et où a_n et b_n sont des entiers naturels, exprimer φⁿ⁺¹ en fonction de φ
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[Jon83]

En maths, le nombre d’or est noté φ, est défini comme étant la racine positive de l’équation
x² = x + 1. (E)
1°) Calculer φ . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-4 près.

Tu peux écrire

Tu dois reconnaître une équation du deuxième degré que tu dois savoir résoudre (en quelle classe es-tu?)

[inviteca773e56]

Je suis en terminale ES

Et oui, mais pour moi c'est un polynome du second degrés.
Je ne sais meme pas quoi calculer. Alpha, Beta, Delta ?

[Tryss]

Tu devrais savoir résoudre une équation du second degré, c'est au programme de la 1ère ES.

Enfin bon, je vais faire un petit rappel.

Pour résoudre l'équation , il faut d'abord calculer la quantité suivante, appelée discriminant :



Ensuite, en fonction du signe de , on obtient le nombre de solutions de l'équation :
- Si , il n'y a pas de solution
- Si , il y a une solution qui est
- Si , il y a deux solutions qui sont et


Maintenant applique cela à l'équation

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca773e56]

1°)
x² = x+1
-x²+x+1=0

∆ = 1² - 4 x -1 x 1 = 5
Donc Delta est positif.
x_{1 =} (-1-√5)/(2x-1)= (1+√5)/2
x_{2 =} (-1+√5)/(2x-1)= (1-√5)/2

Donc φ a pour solution ( (1+√5)/2; (1-√5)/2 ) ?
(Donc φ ≈ 1,6180 et ≈ -0,6180 )

[Tryss]

Exact. Mais n'oublie pas que dans ton énoncé est la solution positive de l'équation

[inviteca773e56]

D'accprd donc en clair je finis tout l'exercice en remplaçant φ par sa valeur positive qui est (1+√5)/2 ?

[Tryss]

Non, tu n'a pas besoin de remplacer par sa valeur pour la suite de l'exercice, puisqu'on te demande les résultats en fonction de

[inviteca773e56]

euhm, je ne comprends pas ...

[Tryss]

Je dis juste que tu n'as pas besoin de la valeur de pour répondre aux questions suivantes, juste de savoir que vérifie

[inviteca773e56]

2°)
On sait que φ ≈ 1,6180
Donc 1+ (1/1,6180). L'équation φ=1+ (1/ φ) est donc vérifiée.
?

[erik]

Salut,

N'utilise pas la valeur numérique de (tu faits des maths, pas de la physique)

Tu dois partir de l'équation (E).
Comme vérifie l'équation (E) on a et tu dois en déduire que (en fait c'est évident et immédiat, y a cas .....).

[inviteca773e56]

Mais l'équation (E) est annoté -x2+X+1 et non avec des φ ..

[erik]

Dans la question 1/ on t a demandé de trouver la valeur positive de x qui vérifie l'équation (E) : -X²+X+1=0.

Tu as trouvé que pour on a bien -X²+X+1=0.
C'est à dire on a
Comme les mathématiciens sont d'affreux fainéants et que c'est long a écrire (surtout en LaTex) on note
Donc pour resumer : si -X²+X+1=0 (et X positif) alors on note cette valeur ce qui revient à dire que

Est ce clair ?

[inviteca773e56]

Oui je crois
Et donc pour la question 3 et 4 je suis censé faire la meme chose ? Je veux dire, en passant pas le même raisonnement ?

[erik]

Oui pour la question 3/ tu parts de l'équation (E) (avec des à la place des X) et de l'équation (F), pour arriver à l'expression demandée.

[inviteca773e56]

Je pars de l'équation (E) et (F) ??
Ja ne peux pas partir de deux équations sauf sous forme de système non ?

Je comprends plus rien, il y a tout qui s'embrouille

[erik]

Tu sais que c'est l'équation (E) et que c'est l'équation (F), c'est ce que tu as monté jusqu'à présent.

On part de (E) : remplace le qui est à droite du signe = par l'expression de donné par l'équation (F)

[inviteca773e56]

Mais jai pas vraiment démontré la relation entre (E) et (F). Je me suis arrêtée à prouver que -X²+X+1=0 = -φ²+φ+1=0 et non -φ+(1/φ)+1=0

3°)
-φ+(1/φ)+1= -φ²+φ+1
-φ+(1/φ)+1+φ²-φ-1=0
(1/φ)+φ²=0
Et là, je trouve quelque chose qui n'a rien à voir ?

[erik]

On a φ²=φ+1 (E) ok ?
dans la question 2/ tu as montré que on avait aussi φ=1+1/φ (F) ok ?

Tu parts de φ²=φ+1 et tu sais que φ=1+1/φ (c'est ce que tu as montré dans la question 2/), A partir de ces deux équations tu devrais en trouver une troisième.

[inviteca773e56]

On sait que φ²=φ+1(E) et que φ=1+1/φ (F)

Donc (1+1/φ)²= (1+1/φ) +1
Et après je passe tout à gauche pour faire "équation = 0" ?

[erik]

On s'approche de la solution,

Il y a plus simple
Ne remplace pas tout les φ par 1+1/φ dans (E) :

On a φ²=φ+1 (E) et φ=(1+1/φ) (F)
donc on a
(G) :φ²=(1+1/φ)+1 (j'ai remplacé le φ gras dans (E) par le φ gras dans (F)

Maintenant triture un peu (G) pour trouver ce qu'on te demande.

[Tryss]

Pour montrer 2), il suffit de diviser des deux cotés l'équation (E) par

Personnellement, je préfère éviter de passer par 2) pour démontrer 3) :

écrit , puis utilise (E) deux fois

Même technique pour les questions 4 et 5

[erik]

écrit , puis utilise (E) deux fois

En effet c'est plus élégant, je ne sais pas pourquoi je m'étais mis en tête que l'énoncé de la question 3 demandait d'utiliser (E) ET (F), ce qui n'est pas du tout le cas.

[inviteca773e56]

Merci à vous deux