Démonstration par récurrence : suite de nombres rationnels !!! Mon raisonnement est-il juste?
Bonjour, j'aimerais savoir si mon raisonnement est juste.
Question : montrer que pour tout n appartenant à N, Un fait parti du groupe des nombres rationnels
U0= 2 et Un+1= 1/2 x ( Un + Un/2)
Démonstration par récurrence :
P(n) : "Un appartient à Q pour tout n appartient à N", en d'autres termes, Un = p/q avec p et q entiers relatifs non définis.
Initialisation
P(0) : Uo=2
Uo est un nombre entier donc Uo appartient à Q donc P(0) est vraie.
Hérédité
Montrons que si pour un n donné, P(n) est vraie, alors P(n+1) aussi est vraie.
Supposons P(n) vraie, d'après l'hypothèse de récurrence, Un = p/q
Donc Un+1 = 1/2 (p/q + 2/(p/q))
Donc Un+1 = 1/2 x ((p²+2xq²)/pq)
Donc Un+1 = (p² +2q²) / (2pq) or
...(là, J'Hésite !!!!) : 2pq est un entier relatif car p et q sont des entiers
et p²+2q² est aussi un entier realtif car p et q sont des entiers
donc Un+1 peut s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers en admettant que Un soit vraie
Conclusion, d'après l'axiome de récurrence Un est une suite de nombre rationnels pour tout n appartient à N.
Alooorrrs?
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