TS, récurrence suite

[invite6eb1c8a4]

Bonjour, je suis en T S et j'ai un exercice à faire sur les suites.
Le problème c'est que je n'arrive pas trop à le faire.
Pourriez-vous me donner un conseil.
Merci:

Voici l'énoncé:

On note Pn: "2^n est un multiple de 3".

1) Montrer que la proposition est héréditaire.

2) L'affirmation " Pour n appartenant à N, 2^n est un multiple de 3" est-elle vraie ou fausse? Justifier.


J'ai fait par récurrence:

_Initialisation: Pour n=0 , P(0)= 2^0=1
_Hérédité: Posons la propriété est vraie pour un entier quelconque k. Démontrons qu'elle est vraie pour un entier k+1.
2^n+1= 2*2^n

Est-ce cela? Merci
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[L-etudiant]

Non, c'est faux.

ta propriete est "3 divise 2^n".

Tu n'as pas montre que si pour n dans N p(n) est vraie alors p(n+1) est vraie.

Soit n dans N tel que 3 divise 2^n alors... [faire l'hérédité]

Attention aussi, la question est juste l'hérédité !

Je trouve que c'est un bel exo soit en dit en en passant.

[invite6eb1c8a4]

Merci de votre aide.
Donc , Soit n dans N tel que 3 divise 2^n alors montrons que P(n+1) est vraie:
Hérédité: 2^n+1=2^n*2
Ainsi, 2^n+1= 2^n*2=(3k)*2
=6k
Est-ce cela?

[L-etudiant]

Oui ! Juste pour la redac' l'hérédité commence à "soit n..." et il manque la conclusion.

Un truc a peu pres propre serait :

Soit n dans N tel que 3 divise 2^n alors 2^n+1 = 2*2^n = 2*3k (par Hypothese de rec' et k dans Z*) = 3K. [je m'arrete à 2*3k car cela montre bien que c'est un multiple de 3 mais 6 est bon aussi]
Donc 3 divise 2^(n+1)
Ce qui est p(n+1).

Et la suivante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6eb1c8a4]

Dacord,merci
Pour l'autre question puisque j'ai demontré que p(n+1) est vraie alors la proposition est vraie pour tout entier n.
Donc pour tout n, 2^n est un multiple de 3.
Donc l'affirmation est juste non?
Est-ce fini ou dois-je encore démontrer autre chose. Car je n'ai pas trop compris cette question..

[L-etudiant]

Ha ! Dommage !

Fais des essais : 2^0, 2^1, 2^2... (n= 0, 1, 2...)

Donc la propriété est... ?

L'exo est fini dès que tu as compris ce qu'il voulait te faire comprendre.

[invite6eb1c8a4]

J'ai compris enfin ..
Pour n=0, 2^0=1
Pour n=1, 2^1=2
Pour n=3, 2^3=8
Pour n=4, 2^4=16
Donc la propriété est fausse.
En fait, cet exercice nous montre l'importance de la première étape de la récurrence qui est l'initialisation, c'est pour cela que l'on nous la pas demandé au debut.

[L-etudiant]

J'ai compris enfin ..
Pour n=0, 2^0=1
Pour n=1, 2^1=2
Pour n=3, 2^3=8
Pour n=4, 2^4=16
Donc la propriété est fausse.
En fait, cet exercice nous montre l'importance de la première étape de la récurrence qui est l'initialisation, c'est pour cela que l'on nous la pas demandé au debut.

Tu as tout compris ! Lorsqu'on fait une récurrence il est tres important de faire l'initialisation (meme les plus simples) sans ca la conclusion est erronée. Attention aussi : ca peut etre faux pour n=0 mais pas a partir de n>=1...