Factorisation d'un polynome.

[invite76281613]

Bonsoir à tous,
J'aimerais savoir comment factorisé le polynome suivant :
P(x) = x^3 - 10x² + 31x - 30
Merci d'avance.
Paul
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Commencer par voir que 2 est une racine évidente d'où la factorisation par (x-2) qui s'impose.
Ensuite faire comme là

Duke.

EDIT : cela ressemble beaucoup à un doublon ça...

[Tryss]

On peut remarquer que 2 est racine "évidente" de P(x), à partir de là, on peut écrire :

P(x) = (x-2)( ax² + bx + c ) avec des coefficients a,b et c à déterminer (il faut développer ce polynôme et identifier les coefficients)

Après on peut remarquer une racine "évidente" de ce polynôme de degré 2 (un nombre entier inférieur à 4) ou alors calculer les racines par la méthode habituelle pour les polynômes de degré 2 (avec le déterminant)

Les racines de P sont au final assez gentilles (que des petits nombres entier)

Edit : grillé

[invite76281613]

Il ne s'agit pas réellement d'un doublon c'est juste que comme Duke et Pascal n'ont pas arrêté de m'aidé je n'osais pas posé encore une nouvelle fois une question sa me génais , je suis désolé .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76281613]

En tou cas encore merci a Duke qui a répondu a je ne sais combien de mes questions ainsi que a tryss qui en a répondu a pas mal oci merci bcp

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Il ne s'agit pas réellement d'un doublon c'est juste que comme Duke et Pascal n'ont pas arrêté de m'aidé je n'osais pas posé encore une nouvelle fois une question sa me génais , je suis désolé .

Je ne vois pas en quoi c'est gênant de demander quand on ne comprend pas... ce qui était en l’occurrence le cas ici : peut-être n'avons nous pas été assez clair auquel cas on peut toujours modifier notre explication en conséquence.
Si tu n'avais pas compris sur l'autre fil, rien ne t'empêchait de le poursuivre

A la prochaine.
Duke.

PS : Evite le langage SMS, stp : "tou" et "oci" écrits comme cela, ça fait mal...

[invite76281613]

Re-bonsoir,
Duke si tu ne m'en veux pas d'insister j'aimerais juste comprendre quelque chose :
Dans mon exercice on me dit factoriser au maximum le polynôme P(x)= x^3 - 10x² + 31x - 30 vous m'avez dit que cela revenait à (x-2) (ax² + bx +c)
Mais à ce niveau là n'est je point répondu a la question? Je ne comprends pas ce que je dois faire avec des racines , ou les trois equations à résoudre peux tu m'expliquer sil-te-plaît ( j'ai fait un effort sur l'écriture )

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

La réponse est en effet incomplète.
Dans un premier temps, as-tu déterminé les valeurs de a, b et c ?
Si oui, tu as un polynôme du second degré et le calcul du discriminant te permet de savoir s'il est encore factorisable.

Sinon commence par déterminer a, b et c

Duke.

[invite76281613]

Je dirais que a = -10
b = 31
c = -30

Delta = b² - 4ac
= 31² - (-40) x (31)
= 961 - (-1240)
= 961 + 1240
= 2201
Delta > 0 x1 = -31 - √delta / -20 = 3.89 et x2 = -31 + √delta / -20 = - 0.79

Ou est ce plutôt :
a=1
b=-10
c=31
Delta = 100 - 124
Delta = -24
Delta <o donc pas de racine

[Tryss]

Non, les coefficients sont a=1, b=-8 et c=15... Comment tu trouves de telles valeurs?

[invite76281613]

Je trouve ces valeurs en identifiant à ma fonction de départ et toi comment trouves tu ces valeurs? expliques moi sil-te-plaît

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Les coefficient a, b et c sont ceux du polynôme de second degré et non ceux du polynôme du départ !

Voici la démarche un peu plus précise :
Le polynôme de départ est P(x) = x³ - 10x² + 31x - 30
Tu as réussi à montrer que 2 est une racine du polynôme (à savoir P(2)=0) ainsi il est possible de factoriser par (x-2) le polynôme P(x).
Tu me suis ?

Le polynôme P(x) étant de degré 3, la factorisation par (x-2) entraîne la formation d'un terme de degré 2 que l'on représente par sa forme générale ax²+bx+c.
P(x) peut donc s'écrire sous la forme P(x) = (x-2)(ax²+bx+c)
OK ?

Pour déterminer les coefficients a, b et c, on te propose la méthode par identification des coefficients.
Pour ce faire, il faut développer l'expression (x-2)(ax²+bx+c) et regrouper les termes selon les puissances de x...
Ce qui donne... ? ... (J'attends une proposition de la forme développée et regroupée par puissances de x)

Ensuite, on compare cette forme développée obtenue à P(x) = x³-10x²+31x-30.
On obtient alors un système de trois équations à trois inconnues (a, b et c).
Quel système obtiens-tu ?

On résout le système afin de déterminer a, b et c.
Quelles sont les valeurs de a, b et c que tu obtiens ?

 Cliquez pour afficher

Cela devrait être celles de Tryss

Désormais, tu as un polynôme dont tu dois déterminer les racines éventuelles.
Selon le signe du discriminant, il t'est alors possible de factoriser (ou pas) le polynôme correspondant à ax²+bx+c et d'en déduire la forme factorisée finale de P(x).
Là, c'est fini

Cette méthode est classique et tu dois savoir l'appliquer. Apprends donc à bien l'utiliser.

Cordialement,
Duke.

[invite76281613]

Bonjour,
Pour le développement de l'expression je trouve :
ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b) x - 2c
est-ce bien ça?

[invite76281613]

Je pense sinon que je peux écrire ce développement sous la forme suivante : aX² + (b-2a)X + (c- 2b) x - 2c

[invite76281613]

En revanche j'ai du mal à voir où est le système ?

[Duke Alchemist]

Re-

C'est bien ça.

Etape suivante ?
(établissement du système par comparaison)

EDIT : Compare les deux expressions de P(x).

[invite76281613]

Euh juste laquelle de mes deux réponses est la bonne ? ^^

[invite76281613]

P(x) = aX² + (b-2a)X + (c-2b)x -2c
et P(x) =x^3 -10x² +31x -30

Je propose donc de les soustraires mais cela ne me parait pas fesable peux tu m'expliquer comment fait on pour les comparer nous n'avons pas vu sa en cours je viens de vérifier.

[Duke Alchemist]

Tu dois comparer
P(x) = ax³ + (b-2a)x² + (c-2b) x - 2c
et
P(x) =x^3 -10x² +31x -30

Devant x³ d'un côté, tu as "a" et de l'autre c'est "1" (x³ = 1*x³) donc a=1 est la première équation de ton système.
Pour la deuxième, tu égalises ce qu'il y a devant x²
pour la troisième, ce qui est devant x
et pour la quatrième, le terme constant.

Au temps pour moi, il y a 4 équations en tout mais la quatrième sert de vérification.

Duke.

EDIT : l'idée de les soustraire (quand ce sont les bonnes équations) est identique au procédé ci-dessus.

[invite76281613]

b= -8 car (-8 - 2x1) = -10
c =15 car ( 15 + 16) = 31
et d = 15 par vérification

[invite76281613]

Donc,
Delta = -8² - 4 x 15
Delta = 64 - 60
Delta = 4

x1 = -8 - √4 / 2 = -10/2 = -5 et x2 = -8 + √4 / 2 = -6/2 = -3

[invite76281613]

En revanche je ne vois pas comment trouver la factorisation finale à partir de ça ?
Je ne vois pas à quoi me sert le discriminant pour la factorisation, peux tu m'expliquer stp ( c'est ma dernière question ^^)?

[invite6666e8db]

Bonjour.

Alors la factorisation donne (x-2)(ax^2 + bx + c)
A ce stade tu as :
P(x) = ax^3 + (b-2a)x^2 + (c-2b) x - 2c
et
P(x)=x^3 -10x² +31x -30

Tu identifie donc membre à membre d'où :

a=1
b-2a=-10
c-2b=31
2c = 30

En résolvant ces 4 équations tu trouveras les valeurs de a,b,c que tu pourras dès lors remplacer dans (x-2)(ax^2 + bx + c). Il ne restera plus qu'a voir si le polynôme du second degré est lui aussi factorisable. Le calcul du discriminant n'est donc pas nécessaire .

[invite76281613]

Je trouve donc (x-2) (x² - 8x + 15)
on ne peut donc pas plus factorise .
Est ce bon ??

[Tryss]

On peut encore factoriser

[invite76281613]

On peut encore factoriser

Hum... je ne vois pas de forme possible en (a-b) (a+b) ni en (a -b)², quel forme proposerais tu ?

[Duke Alchemist]

Re-

Il me semble que tu n'as pas bien compris l'intérêt du discriminant.
Le rôle principal du discriminant est de factoriser un polynôme du second degré justement.

Je pose f(x) = ax²+bx+c.
* Si alors l'équation f(x)=0 admet deux solutions réelles distinctes (x₁ et x₂) ce qui, en d'autres mots, signifie que f(x) est factorisable sous la forme a(x-x₁)(x-x₂).

* Si alors f(x) = 0 admet une racine réelle double (x₁=x₂=-b/(2a)) et f(x) est factorisable sous la forme f(x)=a(x-x₁)².

* Si alors f(x)=0 n'admet pas de solution et f(x) ne peut pas être factorisée (dans l'ensemble des réels) et restera donc sous la forme f(x) = ax²+bx+c.

Comprends-tu mieux maintenant ?

Cette partie a dû normalement été introduite avec la forme canonique (voir le cours).

Duke.

EDIT : Si tu as bien compris ce qui est indiqué ci-dessus et comme tu as déterminé les racines, quelle est la forme factorisée de x²-8x+15 ?

[invite76281613]

Bonjour,
je dirais :
x² - 8x + 15

delta = (-8)² - 4(1 * 15) = 64 - 60 = 4

racine carrée de delta = ±2

x1 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3
x2 = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5

l'expression du second degré sera : x² - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)

et par suite la factorisation de toute l'expression serait :

(x - 2)(x² - 8x + 15) = (x - 2)(x - 3)(x - 5)

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Très bien sauf

racine carrée de delta = ±2

positif uniquement.

Duke.

[invite76281613]

Okay et bien merci beaucoup à tous pour tout . Je vous en suis éternellement reconaissant.