A propos d'une simple limite exponentielle...

[invite57bf31fd]

Bonjour, je suis en terminale S, et ça va peut-être vous paraître ridicule, mais je n'arrive pas à lever la forme indéterminée de la limite en -(infini) de la fonction (1+x)e^x . Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter...
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[zyket]

Bonjour,

Rappel du cours Chapitre croissances comparées : lim (en -OO) de x e^x = 0

[theguitarist]

Salut !

Avec les croissances comparées ou avec la limite de Ln(x)/x, le résultat doit pouvoir se trouver (moyennant un changement de variable dans le second cas).

(1+x)exp(x)=exp(x)+x.exp(x) tu as du voir bien sûr que exp(x) tend, en -infini, vers 0.
Je te propose donc de t'intéresser juste à x.exp(x)

Avec juste les outils de terminale, il y a pas 36000 façons de démontrer cette limite.

1) Commence par montrer que quelque soit x, exp(x) >= x, pose donc h définie sur IR par h(x)=exp(x)-x et montre qu'elle positive, jusque là, rien de sorcier !

2) une fois que c'est fait, tu peux appliquer le résultat à x/2 : exp(x/2)>=x/2

3) élève au carré et divise par x (on prendra x>0 pour pas changer le signe de l'inégalité) tu as donc grâce à cette inégalité, la limite de exp(x)/x en +infini !

4) tu as la limite de exp(x)/x en +infini, c'est donc la limite de exp(-x)/(-x) en -infini ! de là tu peux en déduire la limite de x.exp(x) en te servant du fait que exp(-x)=1/exp(x)


bonne chance
Quentin

[invite57bf31fd]

Je me disais bien que j'avais déjà vu ça quelque part... Merci beaucoup, c'est ma faute, j'aurais du chercher plus profondément dans mes cours!

[A voir en vidéo sur Futura]