limite d'une exponentielle

[invite6e7f6c38]

bonjour, pour la limite en + l'infini de e^(-x)*x² est ce que je peux dire que en l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur la puissance de x

et donc que lim en +inf de e^(-x)*x² = 0 ??
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[shokin]

Il me semble que dans x^2 / e^x, quand x croît, e^x croît plus rapidement que x^2.

Donc je dirais oui à ta question.

Mais je n'ai pas fait preuve de la plus grande rigueur mathématique. Avis aux pros !

Shokin

[invite6e7f6c38]

oui ce vrai ca

[invite21126052]

bah ecoute dans notre livre (terminale S), y a comme théorème, section "croissances comparées":

pour tout n >=1, limite quand x tend vers plus l'infini de x^n*e^(-x), est égale à 0...

donc si je dirais également que tu peux

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

La seule question est : as-tu ce théorème de manière explicite dans ton cours ou un théorème équivalent ?

[Brikkhe]

salut,

Mon prof nous a dit également que exp l'emporté sur x^y donc tu pourrais sauf que des profs ne veulent pas de cet argument donc, il doit y avoir un autre moyen d'y arriver... lequel? je n'en sais strictement rien etant nul en matiere de limite. dsl
sur ce, bonne soirée!

[invite94e19ae9]

il te suffit de montrer que
Pour ca tu as et donc
D'ou

Pour trouver ta limite c

voila...

[Sephi]

Oui, l'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme. Ça ne demande pas de démonstration, ce sont juste les propriétés de ces fonctions.

[matthias]

Oui, l'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme. Ça ne demande pas de démonstration, ce sont juste les propriétés de ces fonctions.

Ce sont des propriétés une fois qu'elles ont été démontrées. Et on ne peut les utiliser telles qu'elles que quand on les a vues explicitement en cours.

[Sephi]

Tu as raison. Je dirais alors simplement que la démonstration des propriétés de base de l'exponentielle est relativement intuitive, au point qu'on finit par avoir ces propriétés en tête comme faisant partie intégrante de la définition elle-même de l'exponentielle.

Ce sont des propriétés, et non des théorèmes généraux, quoi.

[Goundan]

Bonjour à vous,

Je suis désolé mes amis mais il existe effectivement des preuves que l'exponentielle l'emporte sur les polynômes
(et que les polynômes l'emportent sur le log népérien).

La preuve que je vous propose ici s'inspire fortement de l'expression sous la forme d'une série de la fonction exponentielle :

On peut prouver par récurrence sur n que :



Pour réaliser le cas de récurrence, on dérive l'expression : et on utilise l'hypothèse de récurrence
qui nous permet de montrer que notre fonction est croissante et nulle en 0, donc positive.


Maintenant, nous obtenons :
.


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Bonne continuation.

[Seirios]

Je suis désolé mes amis mais il existe effectivement des preuves que l'exponentielle l'emporte sur les polynômes
(et que les polynômes l'emportent sur le log népérien).

Heureusement que oui

Sinon, on pourrait plus simplement montrer que , cela supprimerait les termes qui ne nous intéressent pas, et on aboutirait à la même conclusion.

[Goundan]

Effectivement.
Merci pour la simplification.