limite de (1-cos(x))/sin(x) quand x tends vers 0

[invite8ab68933]

Bonjour. j'aurais besoin d'aide pour trouver la limite de (1-cos(x))/sin(x) quand x tends vers 0 sans l'aide de la règle de l'hospital. Merci pour votre aide, elle sera grandement appréciée.

Ém
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[phys4]

Bonjour,
je vous propose d'essayer de trandformer votre fraction pour faire apparaitre sin(x/2) au numérateur et dénominateur.

Vous savez que cos(x) = 1 - 2 sin²(x/2) et que sin(x) = 2 sin(x/2)cos(x/2)

Sinon réétudiez les lignes trigonométriques.

[gg0]

Une autre méthode : Utiliser les développements limités, voire simplement, si tu les as dans tes cours, les équivalent en 0 de sin(x) et 1-cos(x).

Cordialement.

[phys4]

Bonjour gg0,

J'ai vu dans l'énoncé que la règle de l’Hôpital n'était pas autorisée.

Cette règle n'est ce pas le premier pas vers les développements limités?
J'ai évité les équivalents pour cette raison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Non,

rien à voir entre la règle de l'Hospital, qui concerne exclusivement les limites de quotients, et les développements limités.

Cordialement.

[invite8ab68933]

je ne comprends pas très bien pourquoi intégrer sin(x/2) dans mon équation. Est-ce possible de m'éclairer. Mes maths sont très loin et je dois faire un cours de calcul différentiel comme préalable à un cours universitaire. Merci.

[gg0]

Bonjour Milie13.

Si tu fais les remplacements proposés par Phys4, ça vient tout seul. le pourquoi a sa réponse : parce que ça marche !

Cordialement.

NB : Bien sûr, on simplifie les fractions quand on le peut. Ici, c'est même le but !

[gg0]

Finalement,

je ferais bien d'expliciter mon NB. Ici, le problème de calcul de limite est que pour x=0, numérayteur et dénominateur s'annulent ("forme indéterminée "). Si on peut simplifier la fraction par un facteur commun au numérateur et au dénominateur qui justemetn s'annules, on a des chances de tomber sur une fraction dont le dénominateur ne s'annule plus. Dans ce cas, il suffit de rempalcer x par 0 et c'est fini

Cordialement.