Résoudre l'équation cos x * sin x = -1 ?

[invite621f0bb4]

Bonjour, je bosse sur mon DM de maths et je suis tombé sur une équation de cette forme :

cos²x+(cos x*sin x)+sin²x = 0

J'en ai déduis que cos x * sin x =-1, étant donné que cos²x+sin²x = 1.
Ma première question, c'est de savoir si ma démarche est la bonne, c'est-à-dire réorganiser le calcul ainsi. ?

Ensuite, j'ai conclue en disant que l'équation cos x * sin x =-1 n'admet pas de solution mais je sais pas trop comment justifier (et d'abord je ne sais pas si c'est vrai, j'ai juste regardé le cercle trigonométrique et fonctionné par déductions...).
Je me disais que quand sin x = -1, cos x = 0 et vice versa. Mais j'imagine que c'est faux puisque ça serait démontré que c'est faux dans un cas particulier, et non dans un cas général...

Par avance, merci de votre aide !
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[Verdurin]

Bonsoir,



Ce qui permet un encadrement de

[invite621f0bb4]

Merci pour la réponse, mais je n'ai pas trop compris à quoi peut me servir cette égalité...

En fait le but de la question à la base était de résoudre l'équation cos³x-sin³x =0.
J'en ai étais donc arrivé à (cos x - sin x)[cos²x+(cos x*sin x)+sin²x] = 0
D'où cos x - sin x = 0 (donc ça j'ai résolu) ou cos²x+(cos x*sin x)+sin²x = 0.
Donc en fait, si cos²x+(cos x*sin x)+sin²x = 0 n'admet pas de solution, ça ne serait pas très grave...

D'autant que l'on n'a pas encore vu cette relation cette année (sin(2x)=2cos(x)sin(x))

[inviteea028771]

Merci pour la réponse, mais je n'ai pas trop compris à quoi peut me servir cette égalité...

On a

Donc résoudre est équivalent à résoudre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

Ha oui en effet ^^
Merci beaucoup !

Je vais relire mon cours voir si on s'en est déjà servi, sinon ça ferait un peu suspect ^^
Mais de toutes façons, sin(2x)=-2 n'a pas de solution, non ? (J'ia fait la représentation graphique à la calculatrice de sin(2x)+2 et la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses...)

[PlaneteF]

Mais de toutes façons, sin(2x)=-2 n'a pas de solution, non ? (J'ia fait la représentation graphique à la calculatrice de sin(2x)+2 et la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses...)

Bonsoir,

Il n'y a pas besoin d'une calculatrice pour dire qu'un "sinus", en l'occurrence , étant toujours compris entre et , ne peut par conséquence jamais être égal à ... et donc dans ce cas, pas de solution ...

[invite621f0bb4]

Ha oui en effet, j'avais même pas remarqué dans ma précipitation ^^
Hé bien merci beaucoup pour vos réponses !

[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Il n’est pas nécessaire de faire aussi compliqué : l'équation est équivalente à , la fonction cube étant une bijection de sur (si bien que pour tous réels et , ).

[invite621f0bb4]

Oui mais étant donné la formulation de l'exercice, je pense qu'il faut utiliser le fait que a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

[invite03f2c9c5]

Si l’énoncé exige une méthode compliquée alors qu’il en existe une simple et naturelle, c’est un très mauvais énoncé ! Faire des mathématiques ne consiste pas à « appliquer le règlement » ou « faire plaisir au professeur », il s’agit de démontrer des choses justes en raisonnant correctement…

[gg0]

Et n'importe comment, a²+ab+b² ne s'annule que si a=b=0 (trinôme du second degré).

Pour en revenir à cos x * sin x = -1 , comme on multiplie deux nombre entre -1 et 1, l'égalité ne pourrait avoir lieu que si l'un est -1 et l'autre 1. Et ce n'est pas possible.

Cordialement.

[invite621f0bb4]

Merci gg, c'est finalement ce que je comptais marquer, étant donné qu'on n'avait jamais vu le sin(2x) en cours.

Sinon DSCH, on ne nous imposait pas de méthode, mais on nous demandait de démontrer une forme factorisée de cos^3-sin^3, donc autant s'en servir, mais ta méthode était en effet plus simple, j'en conviens