DM Term S Fonction exponentielle et dérivabilité

[Alix5]

Bonjour !



Alors voilà dans mon DM, je suis bloqué à 2 questions. Voici l'énoncé de l'exercice (avec les questions utiles en gras les questions où je suis bloquée) :

La fonction f est définie sur [-3;2] par f(x)=x²e^x-1-(x²/2).

2. a) Exprimer f'(x) à l'aide de l'expression de g(x) où g est la fonction définie par g(x)=(x+2)e^x-1-1.
d) On admet que l'équation g(x)=0 possède une unique solution notée a ; montrer à l'aide de la calculatrice que 0.20<a<0.21.
e) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

4. a) Montrer que f(a)=-((a³)/(2(a+2))).


Petite explication sur mes problèmes :

2. e) Ici j'ai beau la tourner dans tous les sens, je ne trouve pas une forme où il est facile d'étudier son signe en fonction des valeurs de x. Car il me semble qu'il y a beaucoup de contraintes avec les valeurs de x, c'est-à-dire le signe de g en fonction de la valeur de x.

4. a) Ici aussi, j'ai tenté de factoriser f(x) avec à la place du x le a, mais je trouve quelque chose de totalement différent de ce qu'il faut obtenir, où les e sont toujours là. Voici donc ce que j'ai trouvé en factorisant :

f(a)=a²e^a-1-(a²/2)
=a²(e^a-1-(1/2))
=a²(e^a*e^-1-(1/2))
=a²((e^a/e)-(1/2))
=a²*(2e^a-e)/(2e))

J'ai donc l'impression d'obtenir quelque chose de totalement différent de f(a)=-((a³)/(2(a+2))). Y a-t-il une erreur ?



Voilà ! J'espère que vous m'avez comprise. Et je dis merci d'avance pour vos réponses.
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[pallas]

Pour le a quelle est la relation entre f' et g ( facile à trouver)
Que sais tu de g??

[pallas]

pour le 4 tu remplaces simplement e^(a-1) par 1/(a+2) puisque g(a)=0 et tu trouve f(a) ... cqfd

[gg0]

Bonsoir.

Pour la question 2-d, utilise le sens de variation de g et la valeur a.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alix5]

Merci pour vos réponses !

En fait je crois que j'ai eu un petit problème dans mon message, les questions en gras ce sont celles où je bloque. Les autres ils me semblent que j'ai su y répondre.

Pour la 2. a), j'ai trouvé que f'(x)=x*g(x). J'ai aussi trouvé que g est croissante sur [-3;2]

Pour la 4., je ne comprends pas pourquoi on replace e^(a-1) par 1/(a+2). Quel est le lien ? Je ne connais que la relation entre f' et g, f'(x)=x*g(x).

[boisdevincennes]

pour le 2a merci de mettre vos calculs car je ne trouve pas pareil.

[boisdevincennes]

apres verification complete oui. je passe à la suite.

[Alix5]

Voici mes calculs pour le 2. a)

f'(x)=2x*e^x-1+x²*e^x-1-x
=x(2e^x-1+xe^x-1-1)
=x(e^x-1(2+x)-1)
=x((x+2)e^x-1-1)
f'(x)=x*g(x)

[boisdevincennes]

pour le 2d, je vous explique:
g(0,20)=-0,011
g(0,21)=0,0029
Comme g est bijective et croissante (PRODUIT DE 2 FONCTIONS CROISSANTES) alors ça passe par 0 et il y a une unique Solution
la question e me parait difficile, je regarde.

[Alix5]

Merci pour votre réponse

[boisdevincennes]

oui pour le a je suis d'accord je m'etais trompé dans la derive de e(x-1)

[boisdevincennes]

pour le e j'aurais besoin de l'aide de spécialistes: voici ce que je trouve
g(x)>0
(x+2)e(x-1)>1
apres je vois pas trop comment faire.

[Alix5]

Merci pour votre réponse

[Alix5]

J'ai le même problème que vous, il y a beaucoup de contraintes dans cette inégalité.

[boisdevincennes]

oui. j'ai une expression pour cela: ça chie du lourd. et meme avec ln ça ne fait rien de bon. j'ai fait un graphique pour voir et le résultat se trouve vers 0,1. alors à mon avis ça sera pas beau à voir comme calcul. Je continue à chercher.

[boisdevincennes]

bon je ne sais pas. peut etre que d'autres pourront t'aider. Je te conseille d'imprimer ça et tu dis que ça passe entre 0 et 1:
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...e75b8.09972240

[boisdevincennes]

ton énoncé doit etre faisandé: car f(x) et f(a) ne sont pas égales:
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...f6430.17169544
en vert f(a) et en rouge f(x)

[boisdevincennes]

ce qui m'inquiete un peu c'est que la dérivée>0 et que
f(a) et f(x) sont décroissantes. Vérifiez tout cela utilisateur alix5
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...01ab8.92864388
sur celui la j'ai mis en bleu x*g(x)

[Alix5]

Merci beaucoup pour votre aide !

C'est vrai qu'il semble y avoir une incohérence entre le f'(x) et f en observant les courbes. Mais j'ai quand même l'impression que sur le graphique la courbe de f(a) et de f(x) se rencontre et que cela correspond au valeur de a E ]0.20;0.21[. Mais je ne sais quoi en penser. Je crois que je suis un peu perdue.

[boisdevincennes]

on demande pas une intersection comme c'est ecrit
on demande de trouver f(a)=-((a3)/(2(a+2)))=f(x)
ce qui correspond à f(x)=-((x3)/(2(x+2))) ce qui est clairement différent de x²ex-1-(x²/2)
en 1:-1/6 et 1/2
Je me suis trompé sur le tracé de la rouge mais ça ne change pas le probleme
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...00671.57083717
par contre c'est cohérent avec le dérivé

[boisdevincennes]

je viens de relire l'énoncé. Effectivement je me trompe. il s'agit de montré que f(x)=f(a)=-((a3)/(2(a+2)))
avec 0.20<a<0.21
ce que vous avez fait c'est pour démontrer pour tout a je comprenais pas. ça change les choses ça.

[Alix5]

Ah oui c'est cohérent.

Donc pour la question 4., il faut que je fasse f(a)=f(x) ?

[boisdevincennes]

je suis bien emmerdé car en plus f(a) différent de 0 (on a f(a)=0 quand a=0) et lim x²ex-1-(x²/2)=0 quand x tend vers a dont a n'est pas le point d'intersection entre les 2.
c'est le bazar. apparemment les autres spécialistes ont laissé tombé devant la difficulté de cet exercice.

[boisdevincennes]

non je ne pense pas. de toute façon vous n'arrivez pas à vous débarrasser du e. ça doit etre simple mais comme ça je vois pas. en fait c'est c'est g(a) qui s'annule en a pas le premier f qui s'annule en 0. (les 2 fonctions ont le meme nom mais c'est que l'énoncé est pourri). donc il faut travailler avec g pas avec f.

[Alix5]

Je ne comprends pas ce que vous voulais me dire.

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !

[boisdevincennes]

j'ai trouvé la solution: on sait que g(a)=0 a partir de la on essaye d'isoler e(a-1) : on a (a+2)e(a-1)=1 donc ae(a-1)=1/(a+2) et apres tu remplaces dans le premier f(a) le a²e(a-1) et tu devrais tomber sur ton truc

[PlaneteF]

j'ai trouvé la solution: on sait que g(a)=0 a partir de la on essaye d'isoler e(a-1) : on a (a+2)e(a-1)=1 donc ae(a-1)=1/(a+2) et apres tu remplaces dans le premier f(a) le a²e(a-1) et tu devrais tomber sur ton truc

C'était exactement l'indication qu'avait donné pallas dans son message#3 ci-dessous ... il y a 2 jours

pour le 4 tu remplaces simplement e^(a-1) par 1/(a+2) puisque g(a)=0 et tu trouve f(a) ... cqfd

[boisdevincennes]

arf. c'est vrai qu'il est bon ce pallas. j'ai bien cru que l'énoncé était faisandé.

[Alix5]

Aaaaaaaaaaaah merci !

Mais en fait j'avais pas compris ce que m'avait dit pallas.

[PlaneteF]

Aaaaaaaaaaaah merci !

Mais en fait j'avais pas compris ce que m'avait dit pallas.

Ben dans ce cas, il faut demander, lui-même ou un autre t'aurait éclairé et tu aurais réussi à faire cette question il y a 2 jours ...