Nombre premier

[happynewyear]

Bonjour,

Je voudrais savoir si la proposition suivante est vraie ou faux, et pourquoi?
si p et q sont des nombres premiers distinctes, alors p et p+q sont premiers entre eux.

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Si p et q sont distincts, ils sont premiers entre eux, d'où l'existence de u et v tels que up+vq=1. On peut alors écrire 1=v(p+q)+(u-v)p, ce qui permet de conclure.

[happynewyear]

Bonjour,
Pour le théorème que vous avez utilisé, je ne l'ai pas encore étudiez donc est ce qu'il y a d'autre façon pour montrer la proposition?
Merci

[gg0]

Bonjour.

Bonne année, aussi !

Tu peux prendre un diviseur commun d:
"Je suppose que p et p+q sont des multiples de d"
Et tu examineras la différence entre les deux.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[happynewyear]

Bonjour,

Bonne année à vous aussi!

on suppose que p et p+q sont des multiples de d (ils ne sont donc pas premiers entre eux car ils sont divisible par d en plus d'être par 1).
je pose p=d.g et p+q=d.h puis p+q-p=d.g-d.h donc q=d(g-h) or on sait que q est premier donc l' hypothèse de départ est fausse donc p et p+q sont premiers entre eux.

C'est bien cela?

[gg0]

Tu te compliques la vie !

Il y a toujours des diviseurs communs de deux nombres (1 divise tous les nombres).
ici, d divise p et p+q donc divise q, c'est un diviseur commun de 1 premiers distincts, donc p=..

[happynewyear]

on trouve p=d*(quelque chose) non?

[gg0]

Ah, erreur de notation de ma part :

donc d= ...

[happynewyear]

Je ne comprend toujours pas trop.
Si d divise p et d divise q, alors ça veut dire que d=p/(...)=q/(...) ?

[Seirios]

L'idée est de supposer que d divise p et p+q puis d'en déduire que d divise q.

[happynewyear]

D'accord, je pense avoir compris pour ça.

D'autre part:
soit a un entier naturel et p un nombre premier tel que p divise a².
la proposition p² divise a² me semble vraie et j'ai l'impression que c'est en rapport avec la décomposition d 'un nombre en produit de facteurs premiers mais je ne sais pas comment. est ce que vous pouvez me donnez quelques indices?

Merci.

[gg0]

Oui,

avec le lemme de Gauss. vas-y, rédige une démonstration, en vérifiant qu'à chaque étape tu utilises un théorème.

[happynewyear]

C'est quoi le lemme de Gauss?

[gg0]

"Si p premier divise ab et est premier avec a, alors p divise b"

[happynewyear]

on sait que p et a sont premiers car p est premier.
puis p divise a*a, donc p divise a. Mais est ce qu'on peut dire ici que p^2 divise a^2 ?

[gg0]

"on sait que p et a sont premiers car p est premier." ??
a n'est pas premier. Et il n'y a pas de raison que p soit premier avec a (tu dois même prouver le contraire).

" p divise a*a, donc p divise a" ?? soit p est premier avec a et il ne le divise pas, soit il le divise, donc n'est pas premier avec a.
Tout ça, c'est de l'imitation de phrases, pas l'application du lemme de Gauss : Il ne s'applique pas à p et a*a. Pour s'appliquer, il faut a et b différents, c'est assez évident !!

Mais tu avais esquissé un programme de preuve, reprends-le (c'est à son propos que j'ai parlé du lemme).

[happynewyear]

Sincèrement, je ne vois pas comment on passe de p divise a² à p² divise a² avec le théorème de Gauss.

Si je pose a²=p*q, et que si q est composé, je peut posé q=g*h et ainsi de suite mais comment faire apparaître p²?

Merci.

[happynewyear]

Bonsoir,

Là, j'ai repris le problème du début et je pense avoir bien résolu mais j'aimerai quand même vos avis.
a entier naturel, donc a=p₁*...*p_s^s

[happynewyear]

Bonsoir,

Là, j'ai repris le problème du début et je pense avoir bien résolu mais j'aimerai quand même vos avis.
a entier naturel, donc a=p_y1^x₁*...*p_ys^x_s donc a²=(p_y1^2x₁*...*(p_ys^2x_s) d'après la décomposition d'un nombre en pro)duit de facteurs premiers.
donc p divise a² et p premier signifie que p vaut soit p_y1, soit p_y2,....jusqu à p_ys.
Donc p² divise a² car a²=(p_y1^2x₁)*...*(p_ys^2x_s)

je pense que ça tient la route non?

Sinon je vois pas comment vous appliquez le théorème de Gauss.

[gg0]

Le lemme de Gauss permet de justifier le "signifie que p vaut soit p_y1, soit p_y2,....jusqu'à p_ys" :
Si p n'est ni p_y1, ni p_y2,....ni p_ys-1, alors comme il est premier avec p_y1^2x₁*...*(p_ys-1^2x_s-1), il divise p_ys^2x_s) dont le seul facteur premier est p_ys, etc.

Cordialement.

[happynewyear]

Ah oui! Je vois.

o(∩_∩)o Merci beaucoup!