démonstration trigonométrique

[swaphane]

Bonjour à tous,

je dois démontrer que :

sinx+sin(2x)+sin(3x) = tg(2x)
cosx+cos(2x)+cos(3x)

je suis partis de : tg(2x) = (2tgx)/(1-tg²x), puis j'ai transformé les tg en sin/cos,

comme ça n'a rien donné j'ai essayer en me disant que :

sin(2x) = tg(2x), où j'ai transformer sin(2x) en sin(3x-1) et pareil pour cos(2x), mais une fois de plus, bof bof
cos(2x)

j'ai également tenté d'effectuer

sinx+sin(2x)+sin(3x) , mais j'arrive à un calcul immonde, donc à mon avis c'est pas bon :s
cosx+cos(2x)+cos(3x)

Bref, je patauge, help please

Merci d'avance
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[S321]

Bonjour,

Le but est d'obtenir du sin(2x) en facteur au numérateur et du cos(2x) au dénominateur de manière à former tg(2x). Si tout se passe bien le terme restant devrait donner 1.

Vous pouvez réécrire le numérateur :
sin(2x)+(sin(x)+sin(3x))
Le premier terme est bon, il faut maintenant essayer d'obtenir du sin(2x) à partir de (sin(x)+sin(3x))
or on sait que sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
et que sin(3x) = 4sin(x)cos²(x) - sin(x)
Ce qui devrait permettre de factoriser (sin(x)+sin(3x)) par sin(2x).

Après ça vous effectuez le même genre d'opération sur le dénominateur pour le factoriser par cos(2x).

[jamo]

Bonjour
essaie sin(2x)=2sinxcosx , transformer sin(3x)=sin(2x+x)=....
idem pour cos(2x) = cos²x-sin²x et cos(3x)=cos(2x+x) ( utiliser cos(a+b)=............)
Edit : grillé

[swaphane]

@S321 : je n'arrive pas à obtenir 4sin(x)cos²(x)-sin(x)

@jamo : déjà fais, une horreur :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

sin(3x) = sin(2x+x)
En développant vous obtenez une expression qui fait intervenir des fonctions trigonométriques sur les arguments x et 2x. Vous pouvez alors développer à nouveau sin(2x) et cos(2x) de manière à n'avoir plus que des fonctions trigonométriques de l'argument x.
Détaillez comment vous vous y prenez et à quoi vous parvenez. Je ne peux pas savoir où vous bloquez si vous ne me dites pas ce que vous faites.

[swaphane]

voici:

sin(2x+x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) = 2sin(x)cos²(x) + (cos²(x)-sin²(x))sin(x) =

2sin(x)cos²(x) + cos²(x)sin(x) - sin³(x) = 2sin(x)cos²(x) + sin(x)(1-sin²(x)) - sin³(x) =

2sin(x)cos²(x) + sin(x) - 2sin³(x) ???

J'ai essayer aussi en factorisant (cos²(x)-sin²(x)) selon a²-b², mais je n'y arrive pas non plus :s

[jamo]

à partir de ton calcul : 2sin(x)cos²(x) + (cos²(x)-sin²(x))sin(x) =sinx(2cos²x+cos²x-sin²x)=sinx(3cos²x+cos²x-1)=sinx(4cos²x-1)
reste à transformer 4cos²x-1 , c'est juste une suggestion de calcul , je n'ai pas été plus loin ,J’espère qu'il n'y a pas d'erreur

[S321]

La méthode de Jamo fonctionne, même si j'aurai plutôt laissé sous la forme développée 4sin(x)cos²(x)-sin(x) pour l'instant. Sinon plusieurs autres points d'attaques s'offraient à vous, pensez bien que sin²=1-cos² ce qui vous aurait permet de vous débarrasser du sin³ qui semblait vous importuner.

[gg0]

Bonsoir.

En repartant du départ : sin(x)=sin(2x-x) et sin(3x)=sin(2x+x). On développe et on a immédiatement la factorisation par sin(2x). Idem au dénominateur.

Cordialement.

[swaphane]

merci à tous pour vos aides bien précieuses , je devrais m'en sortir avec tout ça, un ami m'a déjà dit qu'il fallait trouvé le chemin le plus illuminant, celui qui ne laisse aucune place au doute, je me demande bien lequel est-ce dans ce cas-ci , je pencherais bien pour celui de gg0

j'essayerais bien avec sin(x)+sin(y) >> y=3x idem pour les cos du dénominateur, mais travailler avec des quotient de quotient j'aime pas trop

[swaphane]

Donc, le grand gagnant est gg0, grâce à sa méthode, 3lignes pour le numérateur, 3 lignes pour le dénominateur et hop j'arrive à

sin(2x)(1+2cos(x))
cos(2x)(1+2cos(x))

un tout grand merci et peut-être à très vite, me voilà sur une autre démonstration qui va encore me faire perdre des cheveux