Question de vocabulaire.

[Curuxa]

Bonjour, j'ai besoin de préciser les définitions de mon cours (qui ne sont que des schémas d'ensembles et de flèches allant de l'un à l'autre mais sans annotation, en principe ça devrait suffire, mais j'aimerais mettre les mots,...) concernant la surjection, l'injection et la bijection :

Surjection : Dans deux ensembles A et B, tout élément de l'ensemble B a au moins un antécédent dans A.
Faut-il ajouter que tout élément de A a une application dans B?

Injection: Dans deux ensembles C et D, les éléments de D ayant un antécédent dans C en ont un et un seul.
Faut-il ajouter que tout élément de C a une application dans D?

La bijection englobe les caractéristiques de la surjection et de l'injection : deux ensembles liés par une application bijective ont alors nécessairement tout deux le même nombre d'éléments? Si oui, cela implique que la réponse à mes deux questions précédentes était "oui" n'est-ce-pas?

J'vous remercie d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

En fait, tout dépend de ce dont on parle.
Si f : A->B est une application (toujours définie sur A), il n'y a pas besoin de rajouter que tout élément de A a une image, puisque c'est le cas.
Si f : A->B n'est pas définie sur A tout entier, ce n'est pas nécessaire non plus. On parle dans ce cas de fonction surjective, ou de fonction injective.
Par contre, pour les bijections, si f n'est pas définie sur A tout entier, on parle de bijection de D_f (=f^-1(B)) sur B, car pour les bijections, les ensembles en bijections sont importants à connaître.

Pour des exercices suite à un cours, il faut voir ce qui a été défini dans le cours. Lorsque on a plus de "bouteille", l'aspect "défini sur A" ou pas perd de son importance, car on ne manipule pas une fonction sans savoir quand elle est définie (pour un mathématicien, c'est même une question de base).

Cordialement.

[Tryss]

C'est en fait sous entendu dans la définition d'application/de fonction (au moins en général), les éléments de l'ensemble de départ on tous une et une seule image

Et effectivement, deux ensembles en bijection ont le même nombre d'éléments

[Lucien-O.]

Effectivement j'aurais du réfléchir à cette définition Tryss, ça éclaircit directement les idées!

Ce que tu veux dire gg0 (merci pour les détails!), c'est que, finalement, cela n'a pas de sens de considérer que notre fonction n'est pas définie entièrement sur A puisque l'on ne manipule de toute manière que la partie définie de la fonction?
J'ai du mal à imaginer une fonction qui serait injective sans être bijective parce que si mon ensemble A est le domaine de définition et mon ensemble B l'image de ma fonction alors l'injection est une bijection (Dans ce cas là, une droite par exemple est donnée par une application bijective, une courbe comme celle donnée par x^2 est donnée par une application surjective). Il faudrait alors, pour que l'injection existe sans impliquer une bijection, que l'ensemble B ne soit pas exclusivement l'image de notre fonction?
Mais je comprends moins bien ce que tu veux dire concernant les bijections. En clair, il s'agit de choisir la partie de l'ensemble A qui entretient une relation bijective avec l'ensemble B et les éléments de cette partie sont des images données par la fonction réciproque B->A (=f^-1(B)) ? Ce qui finalement reviendrait à dire qu’il n’y a de bijection que là où il y a bijection,…

Merci à vous!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour une application non surjective :

définie de dans .

Mais si on réduit l'ensemble de départ au dommaine de définition A de f, l'ensemble d'arrivée à l'ensemble B des images, pour f injective, on a bien une bijection de A sur B.

Je ne comprends pas bien ton dernier paragraphe. tu sembles compliquer ce que j'ai dit. Que je viens de répéter (autrement ?) ci dessus.

Cordialement.

Nb : Tu aurais un cours sérieusement fait, ce serait plus simple. Même si les schémas avec des flèches sont utiles pour donner du sens.

[Lucien-O.]

Désolé si je complique, j'ai compris l'idée merci

Par contre f->x^2 R->R est une application surjective justement non? Puisque tout élément du second ensemble à 2 antécédents dans le premier ensemble!

[gg0]

Ah bon ?

Tout réel est le carré de deux réels ? -1 est de carré des réels .. et ... ????

[Lucien-O.]

Ouf, effectivement, c'était très faux ce que je disais là,.... Effectivement c'est non surjectif, ce l'était pour R->R+.
Au temps pour moi.
Encore merci à vous!