Bonjour à tous et à toutes ! Voici un exercice d'entraînement que je viens de finir, j'aimerai savoir si tout ce que j'ai fais est juste.

L'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x/x²+4

1) Calculer f'(x) pour tout x appartenant à R
2) Etudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs de x, puis en déduire les variations de la fonction f
3) Donner, s'ils existent, le minimum et le maximum de f sur [-4;4]

Ce que j'ai fais :

1) f est de la forme u/v et (u/v)' = u'v - uv' / v²

u = x u' = 1
v= x² + 4 v' = 2x

On en déduit : f'(x) = 1(x²+4) - x*2x / (x²+4)²

= x²+4 - 2x² / (x²+4)²

= -x²+4 / (x²+4)²

2) (x²+4)² est plus grand ou égal à 0 car un carré est toujours positif

Ensuite, faisons f'(x) plus grand ou égal à 0

-x²+4 / (x²+4)² le tout plus grand ou égal à 0

-x²+4 plus grand ou égal à 0

Tableau de signe :

x -infini -4 4 +infini


-x²+4 - 0 + 0 -


et S = [-4;4]

Le signe de f'(x) est le même que celui de -x²+4 d'où :

x -infini -4 4 +infini

f'(x) - 0 + 0 -

Puis pour les variations on calcule :

f(-4) = -4/(-4)²+4 = -1/5

f(4) = 1/5

Alors : de -infini à -4 la courbe descent
de -4 à 4 la courbe augmente
de 4 à +infini elle descent

3) f admet un minimum local en -4 puisque la dérivée s'annule en changeant de signe en -4
donc m = - 0,2
De même, M = 0,2

Merci d'avance