Suite numérique et division euclidienne

[Marty-Macfly]

Bonjour, je rencontre quelques difficultés dans la résolution de mon exercice et je viens solliciter votre aide. Le voici:


On considère deux suite d'entiers naturels (Un) et (Dn). Pour tout n, on considère le quotient Qn, et le reste Rn dans la division euclidienne de Un par Dn ( non nul ).


Partie A/ Un exemple.


Soit Un = 8n²+n et Dn = 4n+1 pour tout n >= 1.

1) Calculer Un, Dn, Qn et Rn pour n= 1,2,3,4,5.

2) Observation
a. Quelles conjectures peut-on émettre sur la nature des quites (Qn) et (RN)?
b. Proposer une expression de Qn et de Rn en fonction de n.

3)Vérifier que pour tout n >= 1, Un= DnQn + Rn' que Qn et Rn sont bien des entiers et que 0 =< Rn < Dn.


Partie B/ Un exemple plus surprenant


Soit Un= 3n² - n +1 et Dn= 2n - 1 pour tout n >= 1

1) Calculer avec un logiciel ( ou la calculatrice ) les 40 premiers termes de la suite (Rn).

2) La suite (Rn) est -elle arithmétique?

3) Représenter graphiquement les 40 premiers termes de la suite (Rn).

4) Explorer les résultats donnés par le logiciel, et émettre une conjecture...

5) Émettre de même une conjecture sur l'expression de Qn.

6) Démontrer les résultats obtenus en s'inspirant de la question A3.



Mon travail:


Partie A/

1 ) U1= 9 ; D1= 5 ; Q1= 1 ; R1= 4
U2= 34 ; D2= 9 ; Q2= 3 ; R2= 7
U3= 75 ; D3= 13 ; Q3= 5 ; R3= 10
U4= 132 ; D4= 17 ; Q4= 7; R4= 13
U5= 205 ; D5= 21 ; Q5= 9 ; R5= 16

2 )a. Les suites (Qn) et (Rn) semblent des suites arithmétiques.

b. Voila, je suis bloqué à cette question puisque je n'arrive pas exprimer Qn sans Rn et vice versa.

3 ) Je ne sais pas comment m'y prendre.



Partie B/


1 ) J'ai réalisé l'opération avec ma calculatrice sans soucis.

2 ) La suite n'est pas arithmétique car il n'existe pas de réel n tels que pour tout n, Un+1= Un + R

3 ) J'ai représenter la courbe sans soucis encore avec ma calculatrice.

4 ) Comme à la question b., je n'arrive pas exprimer les suites seulement avec n.

5 ) Même problème pour exprimer avec n.

6 ) Comme à la 3, je ne sais pas comment m'y prendre.


Voila, l'ensemble de mon exercice. Merci de m'aider afin de terminer mon travail.
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[gg0]

Bonsoir.

Pour la question A 2), tu peux faire une preuve par récurrence en utilisant l'hypothèse Q_n = ... et R_n = ... où tu auras remplacé les pointillés par les valkeurs en fonction de n (puisque tu penses que ce sont des suites arithmétiques, tu sais faire).

Cordialement.

[Marty-Macfly]

Merci de votre réponse mais je ne comprend pas vraiment..

La seule expression que je trouverai serait Qn+1= Qn + 2 et Rn+1= Rn+3. Est-ce l'expression par n recherchée dans la consigne ? Je doute..

Merci de m'apporter encore un petit peu votre aide

[Jeanpaul]

L'idée est d'écrire pour tout n une relation du genre division euclidienne : u(n) = D(n) . Q(n) + R(n) avec 0 <= R(n) < D(n)
D(n) est un polynôme du 1er degré donc si on veut que R(n) ne dépasse jamais D(n), il faut que R(n) ne soit pas du second degré, sinon il dépassera forcément le diviseur. Autrement dit, il faut que le terme en n² se simplifie et que Q(n) ressemble à 2 n + q où q est une constante à trouver.
Alors tu tâtonnes un peu : tu essaies q= 0 puis q=1 et tu regardes à quoi ressemble R(n). Tu trouveras assez vite la bonne valeur de q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention Jean-Paul,

il ne s'agit pas de suites de polynômes mais de suites numériques. Bien particulières ici. Et c'est de la division euclidienne sur des entiers !!

Cordialement.

[gg0]

Marty-Macfly,

"La seule expression que je trouverai serait Qn+1= Qn + 2 et Rn+1= Rn+3." C'est tout à fait ça ! sauf que si cette hypothèse est vraie, tu es capable d'écrire Q_n directement (par exemple Q17= 33) sans référence à autre chose que la valeur de n. Tu as ça dans ton cours sur les suites arithmétiques (et c'est très évident, très intuitif). Même chose pour R_n.
Et je te fais remarquer qu'on ne te demande pas directement de le prouver, mais de proposer une formule. Donc, en y réfléchissant, je pense que ce qu'on te demande c'est de proposer les valeurs de Q_n et R_n. Et à la question suivante, une simple vérification.
Même pas de preuve par récurrence.

Cordialement.

[Jeanpaul]

Attention Jean-Paul,

il ne s'agit pas de suites de polynômes mais de suites numériques. Bien particulières ici. Et c'est de la division euclidienne sur des entiers !!

Cordialement.

Non, non, je ne me suis pas trompé car la division de polynômes donnerait des termes non entiers. Bien entendu, ça va y ressembler mais l'argument qu'il faut que les termes en n² se simplifient est peut-être un peu subtil.