Conjecturer expérimentalement la limite d'une suite

[Margot3]

1. Conjecturer la limite éventuelle de la suite (un) définie par un=2+0,6^n pour tout n>=0
2. Déterminer un entier n0 tel que, pour n>=2 à 10^-10 près puis à un=2 à 10^-20 près.

Merci beaucoup de m'aider car j'ai vraiment du mal.
Pour la question 1. j'ai calcler les premiers therme et tracer la courbe pour conclure que la courbe converger vers 2. Est ce que c'est bon ? Et pour la question 2. j'ai calculer à la calculatrice 0,6^n=10^-10 pour tous les nombre et j'ai déterminer le plus petit (c'est à dire n=41 ou un=8,02*10^-10 et pareil pour 10^-20. Je ne sais pas si c'est correcte et comment le justifier.
Merci beaucoup car j'ai vraiment du mal
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[Teddy-mension]

Bonjour !
Pour la 1), oui c'est bon, c'est qu'une conjecture, il n'était même pas indispensable de tracer la courbe.. Il suffisait de prendre des grandes valeurs de n, et voir que ça se rapprochait de 2.
Pour la 2), tu es bien partie, mais peut être un peu rapidement: Pour que ce soit bien clair, je chercherais tel que (Tu ne sais pas encore que , donc tu dois encadrer des deux côtés..)
Et après, je ferais de même pour ..
Tu es en quelle classe ?

[Margot3]

Je suis en Première S ! Merci beaucoup pour ton aide. Mais je ne comprend pas bien le principe d'encadrer. En quoi ça va justifier et comment trouver n ? Il faut faire un calcule particulier ?

[Teddy-mension]

On veut chercher tel que pour tout , on a à près..
Autrement dit, à partir d'un certain entier entre et .. D'où l'encadrement (Les bornes sont exclues d'ailleurs)
Tu vois ce que je veux dire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Margot3]

Oui je comprend mieux comment tu as fait ! Mais ce que je ne comprend pas c'est par quel calcul on peut trouver n0.

[Teddy-mension]

Autrement dit, à partir d'un certain entier entre et ..

Pardon, je reprends ma phrase: Autrement dit, à partir d'un certain entier , on a entre et ..
(Si en plus je fais des boulettes, ça va pas t'aider..)
On a donc:
Et ensuite on remplace , et on va arriver à (Ça tu l'as fait visiblement)
Et on conclue.

[Margot3]

D'accord je comprend mieux. Mais j'ai trouver mon n en cherchant tous les 0,6^n jusqu'a n=46, je peux justifier en marquant tous les calculs. C'est à dire que j'ai calculer 0,6^0=1, 0,6^1=0,6, ..., 0,6^46=6,2*10^-11. Il n'y a pas un moyen plus rapide ?

[Teddy-mension]

Si, il y a un moyen plus rapide, en passant par les logarithmes.. Mais ça, c'est au programme de Terminale malheureusement (c'est pour ça que je t'ai demandé en quelle classe tu étais).
Toi tu n'as pas le choix, tu dois faire une méthode par balayage, c'est-à-dire, comme tu as fait.. Mais par contre tu n'est pas obligé de calculer pour allant de à .. Tu peux commencer par , .. Ensuite tu vois que ça reste grand, alors tu passes directement à , puis , puis .. Tu reviens à .. Enfin voilà..
Et pour justifier, il suffit d'écrire qu'on a , et que ..
Donc
Donc
Tu fais de même "de l'autre côté" de l'inéquation, et tu en déduis .

[Margot3]

Merci, j'ai réussi a le refaire et j'ai tout compris ! Merci beaucoup

[Teddy-mension]

Pas de soucis !