Exercice Term S : suites (encadrement et limite)

[Agnes270890]

Bonjour à tous !
Je donne occasionnellement des coups de pouces à un élève de terminale s, et pour une fois, nous bloquons tous les deux sur un exo :

Soit Un la suite définie sur N* par Un = n/(n²+1) + n/(n²+2) +...+ n/(n²+n)
Dans la première question, on démontre que pour tous k compris entre 1 et n, 1/(n²+n) < 1/(n²+k) < 1/(n²+1). Jusque là, pas de problème.
La deuxième question nous demande de déduire de la précédente un encadrement de Un en fonction de n (pour ensuite déterminer la limite de Un dans la question suivante).
Et donc là, je sèche complètement :
J'ai essayé de factoriser la suite Un par n, mais j'ai l'impression que ça ne mène à rien.
J'ai essayé d'injecter la suite Un dans la comparaison trouvé avant, mais je bloque car la suite est une succession de termes infinie...

Enfin, bref, il doit me manquer un truc sans doute tout simple mais fort énervant ! Donc si une bonne âme aurait une idée ou une piste, je suis plus que preneuse ^^
(le DM étant à rendre dans 4 jours ^^" )

Merci d'avance !
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[S321]

pour tous k compris entre 1 et n, 1/(n²+n) < 1/(n²+k) < 1/(n²+1).

Bonjour,

Vous pouvez faire la somme de ces inégalité pour k allant de 1 à n. Le terme central vous permettra de récupérer u_n.

[Agnes270890]

Ce que j'ai fais depuis que j'ai posté ce commentaire, mais le résultat ne permet pas de calculer la limite vu qu'on arrive à une forme indeterminée.... ( n/(1+n2) ou n²/(n²+1) ) Sauf si je me trompe mais alors là je n'y comprend plus rien XD

[PlaneteF]

(...), mais le résultat ne permet pas de calculer la limite vu qu'on arrive à une forme indeterminée.... ( n/(1+n2) ou n²/(n²+1) )

Bonsoir,

Tu ne dis pas précisément quel encadrement tu trouves ...

En tout état de cause quand on "somme l'encadrement" de l'énoncé, on obtient bien n/(n²+1) à un endroit mais pas n²/(n²+1)

Quant aux F.I., et ben çà se lève !


Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

(...) on obtient bien n/(n²+1) à un endroit mais pas n²/(n²+1)

Oups, lire l'inverse !

[PlaneteF]

Concrètement si l'on part de :



On multiplie par cet encadrement, puis on le somme de à , ce qui donne :



Et c'est presque fini.


Cdt

[Agnes270890]

Merci pour ton aide.
Alors, oui, j'avais effectivement fait une erreur dans mon message précédent.

J'obtiens l'encadrement suivant à la fin (qui correspond d'ailleurs à ta réponse) :

n²/(n²+n) < Un < n²/(n²+1)

Donc en simplifiant toute cette histoire, j'arrive à :

n/(n+1) < Un < n²/(n²+1)

Bon, j'aurais tendance à dire que quand n tend vers plus l'infini, n+1 tend vers n et donc que n/(n+1) tend vers 1. Pareil pour n²/(n²+1).
Est-ce que je peux faire cette approximation là et surtout est-ce qu'elle est acceptée pour un élève de term S ? (parce que, après tout, c'est lui qui doit rendre l'exo.. Donc qu'il comprenne comment faire c'est le but, mais autant que la résolution soit juste quoi XD)

Merci en tout cas pour ton aide !

[PlaneteF]

Bon, j'aurais tendance à dire que quand n tend vers plus l'infini, n+1 tend vers n et donc que n/(n+1) tend vers 1. Pareil pour n²/(n²+1).
Est-ce que je peux faire cette approximation là et surtout est-ce qu'elle est acceptée pour un élève de term S ?

Pour formaliser cette levée de F.I., on peut remarquer que :

Et du coup en utilisant les règles de base du calcul des limites on obtient bien !


Cdt

[Agnes270890]

Effectivement, j'avais pas pensé à ca !
Merci beaucoup !! (J'ai plus qu'à expliquer tout ca a mon eleve !^^)
Merci encore !