Démonstration dérivée fonction exponentielle via raisonnement récurrence (problème avec l'hérédité)

[Matt_error]

Au rang "n+1", on étudie donc f(x)=exp((n+1)x)
f'(x)= (n+1)exp((n+1)x)

vous affirmez le résultat...
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[Lilly45]

Ok je la refais

Initialisation
Pour n=0 la propriété est vraie car
exp(0x)=1 et la dérivée d'une fonction constante vaut 0
Or 0*exp(0*x)=0

Hérédité
Supposons que la propriété est vraie au rang n, pour un n quelconque, pour tout n appartenant à N, c'est à dire que nexp(nx) est bien la fonction dérivée de exp(nx)
Au rang "n+1", on étudie donc f(x)=exp((n+1)x)

exp((n+1)x) = exp(nx+x)
comme exp(a+b) = exp(a)* exp(b)
on a exp(nx + x)= exp(nx) * exp(x)
donc f'(x) = (uv)' = vu' + uv' = exp(x)*(nexp(nx)) + exp(x)*exp(nx)

donc f'(x) = exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx))

<=> (n+1)exp((n+1)x)


Donc d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout n

[Matt_error]

donc f'(x) = (uv)' = vu' + uv' = exp(x)*(nexp(nx)) + exp(x)*exp(nx)
il faut dire ce qu'est u et v (quand tu le feras au propre)


"<=>f'(x)=(n+1)exp((n+1)x)"
juste un oubli

Le raisonnement est juste. J'espere que c'est un peu plus clair, surtout pour l'histoire du n "fixé"
N'hésite pas à poser d'autres questions

[Matt_error]

donc f'(x) = exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx))

<=> f'(x)=(n+1)exp((n+1)x)

je pense que tu peux rajouter une ligne intermédiaire pour mieux expliquer comment tu passes d'une ligne à l'autre. (pour faire comprendre à ton prof que tu ne l'embobines pas)

[Lilly45]

Merci ^^
Je dois dire que u et v sont deux fonctions distinctes, et c'est tout ?
" pour u, v, deux fonctions distinctes avec ici u = exp ... et v= exp ... "

ok

[Matt_error]

même pas besoin de faire de phrase f(x)=u*v avec u=... et v=...d'où f'(x)=...

[Lilly45]

Okay
sans vous j'aurais pas réussi, encore merci pour l'aide. Ce forum est génial.
Bonne journée.

[Matt_error]

Bonne journée, bon courage pour le dm

[Lilly45]

Merci, à vous aussi

[m236m]

Bonjour,

Je voudrais juste rajouter qq chose, en espérant qu'il n'est pas trop tard...

1/ Lorsqu'on arrive à l'hérédité, on ne peut pas dire ça:

pour un n quelconque, pour tout n appartenant à N

Si tu supposes la proposition vraie pour tout n appartenant à n, alors à quoi bon montrer l'hérédité...?
Une meilleur phrase (qui n'est pas la seule correcte bien entendue) serait "On suppose la proposition vraie pour un rang n fixé, avec n appartient à N. Montrons qu'elle est vraie au rang (n+1)".

2/

comme exp(a+b) = exp(a)* exp(b)
on a exp(nx + x)= exp(nx) * exp(x)
donc f'(x) = (uv)' = vu' + uv' = exp(x)*(nexp(nx)) + exp(x)*exp(nx)

Pour continuer dans la lignée de ce qu'a dit Matt-error, il faut même, si tu écris exp(a+b), dire ce que sont a et b. Des réels, des entiers, des patates? Je ne sais pas si ton prof est très exigeant, mais ce sont des propriétés (règles sur l'exponentielle et sur la dérivation) qui sont sensées être très connues (enfin, tu verras quand ton prof aura décider de vous les apprendre^^), donc je ne pense pas qu'il soit nécessaire de les justifier. Si tu le fais, il faut être rigoureux et ça prend du temps...

EDIT: Si je dis ça pour la remarque 1/, c'est que même si on a envie de dire "oui ça va on sait de quoi on parle!", j'en ai connu plein (moi y compris) qui ont perdu des points bêtement pour ça!

[Lilly45]

Merci pour tes remarques !
Elles sont ultra pertinentes.
J'en prends note.

[m236m]

Elles sont ultra pertinentes.

A ce point^^ ?! Merci

[Lilly45]

Oui ^^
donc :
On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé, avec n qui appartient à N. Montrons qu'elle est vraie au rang (n+1)

On étudie f(x)=exp((n+1)x)
exp((n+1)x) = exp(nx+x)
comme exp(a+b) = exp(a)* exp(b) pour a,b relatifs distincts

je dois noter ça sur a et b ?

[m236m]

Non non, a et b sont des réels quelconques! Cette propriété est vraie pour tous réels

[Lilly45]

ok ! et il y a autre chose qui va pas ??

[m236m]

Je rajouterai une chose (un léger détail)
Au moment ou tu écris ça:

f'(x) = (uv)' = vu' + uv' = exp(x)*(nexp(nx)) + exp(x)*exp(nx)

(On a déjà vu la partie justification pour u et v. Soit tu dis que u et v sont des fonctions dérivables sur un même ensemble de définition D, soit tu n'en parles pas du tout!))
C'est à ce moment que je mettrai "D'après l'axiome de récurrence". Car c'est à ce moment là que tu t'en sers, lorsque tu dérives exp(nx). Or tu l'as mis tout à la fin. C'est pas faux^^ mais ça pourrait être plus juste

[Lilly45]

je veux pas que mon prof se pose des questions ^^ ça va être évident que j'ai été grave aidée.
Mais merci, la rigueur l'année prochaine, il en faudra, faut que je m'habitue dès maintenant

[m236m]

ça va être évident que j'ai été grave aidée.

En même temps, si vous avez un exo sur des exponentielles sans savoir ce que c'est, faut pas s'étonner...
Bonne continuation et à bientôt peut-être!