Les suites arithmétique

[saoca]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider a résoudre la question 2 et la question 3 svp.

voici l'énoncer:

Soit la suite U définie sur [smb]N[/smb] par U0 = 1 et pour tout entier n, Un+1=2Un+1-n et la suite S définie sur [smb]N[/smb] par:

Sn= U0+U1+...+Un

2) Démontrer que pour tout entier Un= 2^n+n
3) en déduire l'expression de Sn en fonction de n.

merci d'avance
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[Matt_error]

qu'as-tu déjà fait/pensé ?

[saoca]

j'ai pensé a la récurrence
Initialisation:

pour n=1 U0= 1 et Un=2^0+0=1
donc la propriété est vérifié

Récurrence:

supposons que Un+1= 2Un +1-n et Un=2^n+n
démontrons Un+1=2^n+1+n+1

Un+1=2Un+1-n
=2(2^n+n)+1-n
=4^n+2n+1-n
=4^n+n+1
=puis bloquer

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je trouve ta récurrence un peu "brouillon" notamment au niveau des indices et des calculs.

Ton erreur vient du fait que 2*2^n ne fait pas 4^n mais bien 2^(n+1)

 Cliquez pour afficher

2*2^n = 2^1*2^n = 2^(1+n) ou 2^(n+1) puisque la somme est commutative

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

En rapport avec le titre de ton message initial, où vois-tu des suites arithmétiques ?

Cordialement

[saoca]

mais je ne trouve pas Sn

[PlaneteF]

Bonsoir,

On a :

--> Ces 2 sommes sont connues ou faciles à déterminer.


Cordialement

[saoca]

donc Sn= 2^k+k si j'ai bien compris

[PlaneteF]

donc Sn= 2^k+k si j'ai bien compris

Non absolument pas, ... est un indice "muet", donc ce que tu écris n'a pas de sens.

Si tu n'es pas à l'aise avec l'usage de la notation avec , on peut alors écrire :

[saoca]

donc Sn en fonction de n
= ? je ne vois pas

[PlaneteF]

La première somme entre parenthèses est la somme des premiers termes d'une suite géométrique dont je te laisse le soin de donner le 1er terme et la raison. A partir de là yapuka utiliser la formule de cours idoine.

La deuxième somme entre parenthèses est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique dont je te laisse le soin de donner le 1er terme et la raison. A partir de là yapuka utiliser la formule de cours idoine.

[saoca]

R= Un+1/Un
=2^n+1/2^n
=1
et
R=Un+1-Un
=n+1-n
=1

[PlaneteF]

R= Un+1/Un
=2^n+1/2^n
=1
et
R=Un+1-Un
=n+1-n
=1

Non pour la première raison, oui pour la seconde.

Remarque : Pour une suite géométrique on note généralement la raison .

[saoca]

pour le premier c 2

[PlaneteF]

pour le premier c 2

Oui, ... Et maintenant avec le 1er terme de chacune de ces 2 suites, tu peux appliquer leur formule sur la somme des premiers termes.

[saoca]

mais comment ?
je trouve Un= 2^n et Un=n

[PlaneteF]

La somme de termes consésutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=(premier terme)x(1-raison^{nombre de termes})/(1-raison)

Il y a aussi une formule pour les suites arithmétiques que tu dois avoir dans ton cours.

[saoca]

donc S=(1- 2^n+1/1-2)
S= n(n+1)/2

[PlaneteF]

donc S=(1- 2^n+1/1-2)

Il manque des parenthèses, ...

Et donc au finish S_n vaut ...

[saoca]

Sn= (1-2^n+1/1) + (n(n+1)/2)

[PlaneteF]

Sn= (1-2^n+1/1) + (n(n+1)/2)

Il y a des erreurs de signe ; il manque une parenthèse.

[saoca]

Sn= ((2^n+1)-1/1) + (n(n+1)/2)

[PlaneteF]

Sn= ((2^n+1)-1/1) + (n(n+1)/2)

Il manque toujours des parenthèses ...

Sinon, sérieusement, quand tu as une expression de la forme , toi tu la laisses sous cette forme pour donner un résultat

[saoca]

a ok donc

Sn={((2^n+1)-1) + n(n+1)/2}

[saoca]

tu peut m'aidé pour les suites un autres exo stp

[PlaneteF]

a ok donc

Sn={((2^n+1)-1) + n(n+1)/2}

Il manque encore des parenthèses.

[saoca]

Il manque encore des parenthèses.

Sn={((2^n+1)-1) + (n(n+1)/2)}

[PlaneteF]

Sn={((2^n+1)-1) + (n(n+1)/2)}

Non, toujours pas.

Rappel :

2^n+1 = 2ⁿ+1

2^(n+1) = 2ⁿ⁺¹

[saoca]

mon ordi ne fait pas cela mais j'avais compris

[PlaneteF]

mon ordi ne fait pas cela mais j'avais compris

Google et WolframAlpha sont moins tartes que ton ordi, quand je tape dedans 2^2+1, ils retournent bien tous les deux comme résultat 5 et non pas 8 !