paradoxe de zenon et problèmes

[fulmen]

Salut,

En parlqnt avec mon prof de math il me dit que si on additionne la moitié de 2 a la moitié 1+ moitié 0.5 (1+0.5+0.25.....) avec à chaque fois la moitie du nombre précédent on obtient jamais deux.

Je repond que si c'est un exemple typique du paradoxe de zenon.
Il me dit non ce nest oas possible ...

Je prends l'exemple d'une flèche qui doit faire un chemein de 2m. Elle peut toujours faire la moitié du parcours donc ne touche jamaais la cible. Or on sait que la flèche rentre dans la cible donc elle parcours la distance.

Mon prof ne m'a pas repondu alors je vous pose la question:qui a raison? Si j'ai tord pourquoi parce que je vois pas de problème?

Cdt,
Ful,
-----

[Amanuensis]

Diverses possibilités existent pour résoudre le paradoxe, plus ou moins équivalentes. En voilà une:

Elle peut toujours faire la moitié du parcours donc ne touche jamaais la cible.

La faute est dans le "donc" et le "jamais".

La somme ne peut pas dépasser 2 quel que soit le nombre d'étapes, c'est correct.

Mais cela ne veut pas dire "jamais" qui est une indication de temps.

Prenons le temps en compte, et supposons la vitesse de 20 m/s (lent...).

Première moitié 1m en 1/10 s, deuxième étape 1/2 m en 1/20 s, etc. Les sommes ne pourront pas atteindre respectivement 2 m et 1/5 s. Tout ce qu'on peut conclure c'est que la flèche n'atteint pas la cible et le temps n'atteint pas 1/5 s. Ce qui n'indique rien sur une durée >1/5s, et interdit la conclusion "jamais".

[PlaneteF]

Bonsoir,

En parlqnt avec mon prof de math il me dit que si on additionne la moitié de 2 a la moitié 1+ moitié 0.5 (1+0.5+0.25.....) avec à chaque fois la moitie du nombre précédent on obtient jamais deux.

est la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison .

Donc le calcul de cette somme en fonction de et sa limite quand tend vers est immédiat, ... donc ton prof a raison sur ce qui est en citation

Cordialement

[PlaneteF]

Donc le calcul de cette somme en fonction de et sa limite quand tend vers est immédiat, ...

Petite précision : ... et d'ailleurs même sans calculer la limite, on voit immédiatement que cette somme une fois exprimée en fonction de est toujours

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En parlqnt avec mon prof de math il me dit que si on additionne la moitié de 2 a la moitié 1+ moitié 0.5 (1+0.5+0.25.....) avec à chaque fois la moitie du nombre précédent on obtient jamais deux.

Bonsoir,

Si par "jamais" votre professeur entend au bout d'un nombre fini quelconque d'étapes, il a raison, si on pense à un nombre infini d'étapes, il a tort.

Vous avez raison d'invoquer le paradoxe de Zénon, si ce genre de questionnements vous intéresse, vous pouvez regarder l'hôtel de Hilbert, ou aussi : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4096879, le spoiler qui s'appelle "une version plus ludique"

[fulmen]

Salut,

Vous pouviez pas dire que j'avais raison!!!

Mais merci je comprends pourquoi j'ai tord.

On va sauver la donne je pense qu'il parled'un nombre infinie d'étape donc j'ai raison!

Merci pour le lien mediat tres intéressant.

Cdt,
Ful

[PlaneteF]

Vous pouviez pas dire que j'avais raison!!!

Mais merci je comprends pourquoi j'ai tord.

On va sauver la donne je pense qu'il parled'un nombre infinie d'étape donc j'ai raison!

Bonjour fulmen,

Je ne pense pas que tu aies raison pour autant ... car quand bien même on se place dans le cas d'un nombre infini d'étapes, ta justification par le paradoxe de Zénon n'est pas de mise, car ce paradoxe n'oppose pas le cas où la somme est toujours en considérant un nombre fini d'étapes, et le cas où cette somme vaut si l'on considère un nombre infini d'étapes, mais ce paradoxe c'est plutôt de penser "à tord" pouvoir formaliser le parcours d'une flèche réelle en utilisant une telle somme qui ne peut pas être , alors que la flèche va bel et bien traverser la cible. Et donc la résolution du paradoxe c'est d’expliciter le "à tord" de la phrase précédente.

Dit autrement, ce qui t' "oppose" à ton prof c'est le distinguo entre 2 cas, l'un où la somme et l'autre où la somme (là il n'y a pas de contradiction mais simplement 2 façons différentes de considérer la notion d'infini), alors que le paradoxe de Zénon c'est un raisonnement qui mène à la fois à la somme et à la somme (donc là il y a bien une contradiction), ... bref il ne s'agit pas de la même chose.

Cordialement

[Médiat]

PlaneteF : Je n'ai rien compris à votre argumentation, en particulier je ne vois pas ce que vient faire le fait que la flèche "dépasse" la cible, en général on pose la distance point initial au point final égale à 1 (et non 2 ici, mais c'est anecdotique), et clairement ce qui compte c'est le couple (point initial, point final), que la cible soit en acier trempé dans lequel la flèche ne pénètrera pas ou en balsa dans lequel elle s'enfoncera profondément ne change rien. Je maintiens que le seul point à considérer ici c'est le nombre fini ou infini d'étapes, c'est à dire la signification de "jamais".

[S321]

Le problème de conception vient à mon avis de l'abus que l'on fait lorsqu'on parle d'un nombre infini d'étapes. Il n'existe pas de nombres qui soit infini, tout nombre qu'il soit naturel ou réel est un nombre fini.
C'est la même chose pour le paradoxe de Zénon, on peut découper la trajectoire en autant d'étapes que l'on veut, mais quel que soit le nombre d'étapes que l'on considère il s'agit toujours d'une finitude d'étapes. C'est pour ça que votre prof de mathématiques vous dit qu'on n'obtient jamais deux en ajoutant successivement les moitiés des nombres précédents, par contre on peut s'en approcher autant que l'on veut, c'est ce qui s'appel admettre une limite.

[Médiat]

C'est pour ça que votre prof de mathématiques vous dit qu'on n'obtient jamais deux en ajoutant successivement les moitiés des nombres précédents, par contre on peut s'en approcher autant que l'on veut, c'est ce qui s'appel admettre une limite.

Donc d'après vous, la flèche n'atteint jamais la cible ?

[PA5CAL]

Bonsoir

La somme n'atteint jamais 2. Et la flèche n'atteindra jamais la cible dans l'intervalle de temps correspondant aux positions x∈[0;2[ (intervalle ouvert à droite, x en mètres). Elle l'atteindra quand x=2, mais ce n'est pas une possibilité offerte par l'énoncé.

[Médiat]

Vous dites que la flèche n'atteint jamais la cible avant qu'elle ne l'atteigne, ce n'est pas faux.

[PlaneteF]

PlaneteF : Je n'ai rien compris à votre argumentation, en particulier je ne vois pas ce que vient faire le fait que la flèche "dépasse" la cible, en général on pose la distance point initial au point final égale à 1 (et non 2 ici, mais c'est anecdotique), et clairement ce qui compte c'est le couple (point initial, point final), que la cible soit en acier trempé dans lequel la flèche ne pénètrera pas ou en balsa dans lequel elle s'enfoncera profondément ne change rien. Je maintiens que le seul point à considérer ici c'est le nombre fini ou infini d'étapes, c'est à dire la signification de "jamais".

Bonsoir,

Pour le coup, la flèche qui "traverse" la cible c'était juste une illustration pour signifier que dans la réalité le temps ne se "cristallise" pas (Achille peut très bien aller boire un coup avec la tortue au troquet du coin juste après l'avoir rattrapé ), ceci contrairement à ce qui se passe lors du découpage du parcours ; maintenant on peut tout aussi bien remplacer cela par la flèche "atteint la cible". Par contre ce que je m'empresse de rectifier c'est le caractère stricte ou pas des inégalités qui sont à intervertir (c'est peut-être cela qui a amené une confusion ?!).

Sinon à la relecture de ce fil je pense qu'à posteriori la conversation entre fulmen et son prof est probablement autre que celle que j'avais interprétée en première instance, et le laïus sur le "distinguo" et celui sur le paradoxe de Zénon que j'ai fait, c'est finalement 2 façons de dire la même chose.

N.B. : Pour ce qui est du parcours de la flèche de l'abscisse 1 à 2, ben c'est simplement pour coller à la somme proposée dans le message d'origine .

Cordialement