Jeu de l'été / Devoir de vacances

[Médiat]

Bonjour NinoEnac

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Vous avez mis le doigt sur un point important, et parfaitement exact sur le passage à la limite.

Bonjour les autres

Si vous voulez continuer à chercher par vous-mêmes, ne lisez pas la réponse de NinoEnac ni mon commentaire ci-dessus.

[Seirios]

Si vous voulez continuer à chercher par vous-mêmes, ne lisez pas la réponse de NinoEnac ni mon commentaire ci-dessus.

Trop tard, il fallait l'écrire avant de répondre à NinoEnac

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L'interprétation de NinoEnac est en fait ce que je présentais comme "misleading" dans mon deuxième message. Pour moi, ce sont deux notions de convergence différentes, non ?

[Médiat]

Bonsoir Serios,

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Oui, c'est ce qui rendait la première partie de votre second message intéressant, mais vous en avez tiré une mauvaise conclusion (NinoEnac aussi)

[Hamb]

Bonsoir,

@Médiat*:

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Faut il bien comprendre l'énoncé de la façon suivante ?
«*Déterminer la limite quand de la fonction *»
Si la réponse est non, alors comment définissez vous la limite demandée ?
Je commence à avoir l'impression que la réelle difficulté réside dans le fait que l'énoncé est volontairement ambigu. Est-ce le cas ?

[Médiat]

Bonjour Hamb

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Vous avez raison, l'énoncé repose sur une "ambiguité", ou plutôt sur un piège. Je n'ai pas écrit soit , quelle est la limite de ?
Quant à la limite d'une suite d'ensembles, elle est définie par "un élément est dans la limite s'il est dans tous les ensembles de la suite à partir d'un certain rang, et un élément n'est pas dans la limite s'il n'est dans aucun ensemble de la suite à partir d'un certain rang", ce qui marche très bien ici.

[Seirios]

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L'énoncé parlait tout de même d'une limite de nombres, donc je ne trouve pas cela très clair...

Dans tous les cas, on a . Cette fois-ci, on trouve un résultat qui est indépendant de f (enfin pas tout à fait, donne une borne pour les limites possibles).

[Médiat]

Je reconnais que l'énoncé était volontairement "ambigu", mais c'est là aussi son intérêt .

La réponse :

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, en particulier si .
Jusque là, ça va.
Si on se demande ce qui se passe quand tend vers l'infini, on est tenté de calculer :
et là on est bloqué puisque clairement le résultat dépend de , cf. la réponse de Seirios.
Mais on peut aussi calculer (il est facile de montrer que cette limite existe) , or le cardinal et la limite ne commutent pas et en particulier , on a donc un résultat très étrange : la limite du cardinal ne dépend que de , et le cardinal de la limite ne dépend que de .

Quelques exemples :

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Avec un qui autorise les valeurs suivantes (sinon, en bidouillant on arrive aux mêmes résultats) :
Si
Si
Si

Dans le même genre :

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Soit

(c'est la limite d'une suite croissante d'entiers)


D'aucun que je ne nommerais pas utilise ce résultat pour affirmer que Cantor a tout faux et qu'il n'y a qu'un seul infini.
(Dans cet exemple l'erreur est différente de la précédente).

Une version plus ludique :

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Un train part à vide de son dépot (gare N° 0) et s'arrête à chacune des stations d'une lignes où les gares sont numérotées à partir de 1.
A chaque station 10 voyageurs entre dans le train, et 1 voyageur en descend.
On suppose que le train met 1 heure entre la station N° 1 et la 2, puis 1/2 heure entre la 2 et la 3 etc, la durée est divisée par 2 à chaque station.
Combien il y a-t-il de voyageur au bout de 2 heures ?
On remarque qu'à chaque station le train comporte 9 voyageur de plus qu'à la station précédente, et pourtant au bout de 2 heures, on peut choisir
1) il est vide (à la station n, le voyageur n descend)
2) il contient p voyageurs, quelque soit p (on bidouille pour laisser p voyageurs parmi les premiers, puis on fait descendre celui dont le N° est immédiatement supérieur au précédent).
3) il contient une infinité de voyageurs (à la station n, le voyageur 2n descend).