Jeu de l'été / Devoir de vacances

[Médiat]

Soit , une fonction strictement croissante.
Soit , une fonction strictement croissante, telle que .

J’ajoute une condition supplémentaire afin d’éliminer quelques cas particuliers : On suppose de plus, que .

Pour tout on pose


Et


On peut remarquer aisément que :


(le cardinal de )


Ces résultats dépendent donc de , mais pas de .

On va s’intéresser à ou , si vous préférez.

Pourrez-vous calculer ? Dans le cas général, dans le cas où ?
Pourrez-vous calculer la limite de quand tend vers l’infini ? Dans le cas général, dans le cas où ?


Merci de répondre sous spoiler afin de ne pas gâcher le plaisir de ceux qui veulent chercher, même si cela vous semble très facile.
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[Seirios]

Bonjour,

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Comme , . Pour ce qui est des limites, on peut trouver n'importe quoi. Pour , et pour , .

Mais cela me paraît simple, non ?

[Médiat]

Bonjour Seirios,

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Comme vous l'avez senti, cette réponse est trop simple (pour les limites), et comme vous le savez, je suis un peu pervers .

[Hamb]

Bonjour,

À propos de la réponse de Seirios :

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Je suis du même avis, le seul trou possible que je peux imaginer c'est qu'il faut tout de même justifier l'existence d'une limite pour , finie ou infinie. C'est évident si on remarque que est une fonction croissante de
Par contre la fonction n'intervient toujours pas, donc j'imagine qu'il doit toujours rester de la perversité quelque part

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonsoir Hamb

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Vous avez raison : il reste de la perversité (et même pas mal ), vous avez aussi raison en pensant que l'absence de est un problème (alors que n'intervient ni dans le cardinal de ni dans celui de , ce qui est déjà étrange)

Pas beaucoup de courageux sur ce coup

[taladris]

Bonjour,

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si on veut faire apparaître dans la question, il suffit d'écrire . La question revient à calculer le cardinal de , qui a priori dépend de .

Cependant, puisque que est strictement croissante, est une bijection. Tous les ont bien le même cardinal, et comme ils sont tous inclus dans , le résultat final ne dépend pas du choix de .

[Seirios]

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Si l'on se dit qu'à l'infini, correspond à , alors on arrive effectivement à une situtation paradoxale, puisqu'il y a une forte dépendance en g (d'une certaine manière, on regarderait la densité de l'image de g dans ). Mais ce que l'on fait, c'est que l'on compare les croissances des cardinaux et ; or le premier cardinal vaut toujours n, ce qui supprime la dépendance en g.

[Médiat]

Bonjour taladris,

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Vous êtes en plein dans le "piège" de ce genre d'exercice ...

Bonjour Seirios

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Vos premières remarques sont intéressantes, vos conclusions vous replongent dans le piège .

[Hamb]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas grand chose à apporter à part quelques touffes de cheveux fraîchement arrachés si ça intéresse quelqu'un
Une petite remarque tout de même :

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Tel que le problème est posé, et surtout telle que la réponse a été donnée, le résultat dépend bien de dans la mesure où la fonction elle-même dépend de . Par exemple, si tend vers l'infini, alors également.
Ceci étant dit, cela n'invalide pas les exemples de Seirios…

J'ai hâte de découvrir les motivations profondes de cet exercice ainsi que la teneur des sadicités Médiatiques qui l'ont engendré…

*Repart s'arracher les quelques cheveux qu'il lui reste*

[Médiat]

Je n'ai pas grand chose à apporter à part quelques touffes de cheveux fraîchement arrachés si ça intéresse quelqu'un

C'est le but (pour me venger de ceux qui en ont plus que moi ).

[Seirios]

@Hamb :

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Pour ma part, j'ai plutôt l'impression que l'on se donne une fonction f puis une fonction g inférieure à f, si bien que je dirais plutôt que c'est g qui dépend de f.

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Dans tous les cas, je ne vois pas où est le problème ; je ne vois aucune raison pour laquelle la limite de f(n)-n devrait déprendre de g...

[Hamb]

En fait le premier message n'apparaît pas bien chez moi, dans la formule qui se trouve après les mots «*On va s'intéresser à*», je vois trois points d'interrogation entre et . Que faut-il voir exactement ? (Je me dis que ça a peut-être son importance…)

@Seirios :

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En effet, je voulais simplement dire que si on fait varier et , le résultat obtenu dépend de (dans le sens où certaines valeurs de la limite ne sont pas atteintes pour toutes les fonctions possibles). Mais à fixée, je ne vois pas non plus la moindre dépendance en …

[NicoEnac]

Pas beaucoup de courageux sur ce coup

Je veux bien participer, mais j'avoue que ce que j'ai à proposer n'est guère différent des propositions faites jusque là.

En fait le premier message n'apparaît pas bien chez moi, dans la formule qui se trouve après les mots «*On va s'intéresser à*», je vois trois points d'interrogation entre et . Que faut-il voir exactement ?

Même question.

[NicoEnac]

Je tente quelque chose avec mes mots qui ne sont pas ceux de mathématicien chevronné.

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Serait-ce possible que la relation "comme , soit invalide lors du passage à la limite ?
Autre remarque, si g(n) = n, E_n et F_n convergent vers N* et donc |E_n\F_n| -> 0 et ce, quelle que soit f.
Or pour f(n) = n²+1, on voit bien que l'application simple de la relation précédemment énoncée donne n²-n+1 qui lui converge vers l'infini. D'où ma question.

[Médiat]

En fait le premier message n'apparaît pas bien chez moi, dans la formule qui se trouve après les mots «*On va s'intéresser à*», je vois trois points d'interrogation entre et . Que faut-il voir exactement ? (Je me dis que ça a peut-être son importance…)

Bonjour,

Il s'agit de la différence ensembliste : - ou \

[Médiat]

Bonjour NinoEnac

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Vous avez mis le doigt sur un point important, et parfaitement exact sur le passage à la limite.

Bonjour les autres

Si vous voulez continuer à chercher par vous-mêmes, ne lisez pas la réponse de NinoEnac ni mon commentaire ci-dessus.

[Seirios]

Si vous voulez continuer à chercher par vous-mêmes, ne lisez pas la réponse de NinoEnac ni mon commentaire ci-dessus.

Trop tard, il fallait l'écrire avant de répondre à NinoEnac

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L'interprétation de NinoEnac est en fait ce que je présentais comme "misleading" dans mon deuxième message. Pour moi, ce sont deux notions de convergence différentes, non ?

[Médiat]

Bonsoir Serios,

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Oui, c'est ce qui rendait la première partie de votre second message intéressant, mais vous en avez tiré une mauvaise conclusion (NinoEnac aussi)

[Hamb]

Bonsoir,

@Médiat*:

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Faut il bien comprendre l'énoncé de la façon suivante ?
«*Déterminer la limite quand de la fonction *»
Si la réponse est non, alors comment définissez vous la limite demandée ?
Je commence à avoir l'impression que la réelle difficulté réside dans le fait que l'énoncé est volontairement ambigu. Est-ce le cas ?

[Médiat]

Bonjour Hamb

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Vous avez raison, l'énoncé repose sur une "ambiguité", ou plutôt sur un piège. Je n'ai pas écrit soit , quelle est la limite de ?
Quant à la limite d'une suite d'ensembles, elle est définie par "un élément est dans la limite s'il est dans tous les ensembles de la suite à partir d'un certain rang, et un élément n'est pas dans la limite s'il n'est dans aucun ensemble de la suite à partir d'un certain rang", ce qui marche très bien ici.

[Seirios]

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L'énoncé parlait tout de même d'une limite de nombres, donc je ne trouve pas cela très clair...

Dans tous les cas, on a . Cette fois-ci, on trouve un résultat qui est indépendant de f (enfin pas tout à fait, donne une borne pour les limites possibles).

[Médiat]

Je reconnais que l'énoncé était volontairement "ambigu", mais c'est là aussi son intérêt .

La réponse :

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, en particulier si .
Jusque là, ça va.
Si on se demande ce qui se passe quand tend vers l'infini, on est tenté de calculer :
et là on est bloqué puisque clairement le résultat dépend de , cf. la réponse de Seirios.
Mais on peut aussi calculer (il est facile de montrer que cette limite existe) , or le cardinal et la limite ne commutent pas et en particulier , on a donc un résultat très étrange : la limite du cardinal ne dépend que de , et le cardinal de la limite ne dépend que de .

Quelques exemples :

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Avec un qui autorise les valeurs suivantes (sinon, en bidouillant on arrive aux mêmes résultats) :
Si
Si
Si

Dans le même genre :

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Soit

(c'est la limite d'une suite croissante d'entiers)


D'aucun que je ne nommerais pas utilise ce résultat pour affirmer que Cantor a tout faux et qu'il n'y a qu'un seul infini.
(Dans cet exemple l'erreur est différente de la précédente).

Une version plus ludique :

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Un train part à vide de son dépot (gare N° 0) et s'arrête à chacune des stations d'une lignes où les gares sont numérotées à partir de 1.
A chaque station 10 voyageurs entre dans le train, et 1 voyageur en descend.
On suppose que le train met 1 heure entre la station N° 1 et la 2, puis 1/2 heure entre la 2 et la 3 etc, la durée est divisée par 2 à chaque station.
Combien il y a-t-il de voyageur au bout de 2 heures ?
On remarque qu'à chaque station le train comporte 9 voyageur de plus qu'à la station précédente, et pourtant au bout de 2 heures, on peut choisir
1) il est vide (à la station n, le voyageur n descend)
2) il contient p voyageurs, quelque soit p (on bidouille pour laisser p voyageurs parmi les premiers, puis on fait descendre celui dont le N° est immédiatement supérieur au précédent).
3) il contient une infinité de voyageurs (à la station n, le voyageur 2n descend).