D'une suite arithmétique à une suite géométrique

[Deepika R.]

Bonsoir,
j'aborde un problème très court du coup j'ai vraiment du mal à comprendre.
Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r,entiers naturels
Démontrer que la suite v de terme général: v^n=3^U^n
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Je ne sais vraiment pas comment commencer
je ne visualise pas bien...
Je demande juste des explications
Merci d'avance
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

v^n=3^U^n

Hein ?? ... Ce serait plutôt :

Tu as donc :

Maintenant est une suite arithmétique donc s'exprime en fonction de de manière évidente, te permettant de faire apparaître immédiatement dans l'égalité précédente, et de faire apparaître le caractère géométrique de la suite .


Cordialement

[ulyss]

Bonjour,
A priori tu a mal écrit ta relation:v^n=3^U^n

Qui doit correspondre plutôt à :


Si tel est le cas, alors il faut que tu cherche V₀ et que tu calcules
qui doit être égal à la raison de la suite géométrique en question.

[Mindyla]

Bonsoir,
j'aborde un problème très court du coup j'ai vraiment du mal à comprendre.
Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r,entiers naturels
Démontrer que la suite v de terme général: v^n=3^U^n
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Je ne sais vraiment pas comment commencer
je ne visualise pas bien...
Je demande juste des explications
Merci d'avance

Bonsoir. Je suis une ancienne élève de Term S et je te propose une solution:

- Premièrement, il faut reprendre les données:

1) Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r,entiers naturels

Cela signifie que tu as:

a. U_n = U₀ + n x r
avec r la raison de la suite U et n, un entier appartenant à l'ensemble N.

b. Tu en déduis que r = (U_n -U₀)/ n et aussi que n x r = U_n - U₀

2) Tu as une suite V de terme général: v^n=3^U^n

Donc V_n = 3 x U_n

soit V_n = 3 x (U₀ + n x r) d'après le 1) a.

V_n = 3 x U₀ +3 x (n x r)

V_n= (3 x U₀ +3 x (n x r)) x U₀ / U₀

J'ai juste multiplié par U₀ en haut et en bas

V_n= ( 3 x U₀² + 3 x (U_n - 3 U₀) x U₀) / U₀

J'ai remplacé (n x r) par U_n - U₀ (cf. 1) b.) et j'ai commencé à développer

V_n= ( 3 x U₀² + 3 x U_n x U₀) - 3 x U₀²) / U₀


Et en simplifiant: V_n= 3x U₀ x (U_n / U₀)

Or : 3x U₀ = V₀ et (U_n / U₀) = qⁿ

D'où : V_n= V₀ x qⁿ

Il s'agit d'une suite géométrique car elle admet un réel q non nul tel que pour tout entier n appartenant à l'ensemble N:

V_n= V₀ x qⁿ


Outils: il faut savoir à la base que:

- une suite U est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout n appartenant à l'ensemble N: U_n+1 = u_n + r
(r = la raison de la suite arithmétique)

et que une suite U est arithmétique si et seulement si, il existe un réel r tel que, pour tout n appartenant à l'ensemble N: U_n = U₀ + nr

- une suite V est géométrique s'il existe un réel q non nul tel que, pour tout n appartenant à l'ensemble N: V_n+1 = V_n x q

(q = la raison de la suite géométrique)

et que une suite V est géométrique si et seulement si, il existe un réel q non nul tel que, pour tout n appartenant à l'ensemble N: V_n = V₀ x qⁿ


Voilà, j'espère t'avoir aider. Bon courage et bonne nuit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

2) Tu as une suite V de terme général: v^n=3^U^n

Donc V_n = 3 x U_n

Bonsoir Mindyla,

Si l'on avait , dans ce cas la suite ne serait pas une suite géométrique, mais une suite arithmétique de raison .

En effet, dans ce cas on aurait :


N.B. : Sinon, l'esprit de ce forum n'est pas de donner la solution aux exos, mais des pistes et des aides pour arriver à la résolution.


Cordialement

[ulyss]

Bonjour,

Effectivement, Mindyla, je crois aussi que tu as fait quelques erreurs dans ton raisonnement.

Il y a déjà celle remarquée par PlaneteF, mais aussi tu écris à la fin:

Or : 3x U₀ = V₀ et (U_n / U₀) = qⁿ

D'où : V_n= V₀ x qⁿ

Il s'agit d'une suite géométrique car elle admet un réel q non nul tel que pour tout entier n appartenant à l'ensemble N:

V_n= V₀ x qⁿ

Si (U_n / U₀) = qⁿ alors (Un) est une suite géométrique, ce qui n'est pas le cas ici : c'est une suite arithmétique.

Donc on a plutôt:
U_n / U₀ = (U₀ + nr) / U₀
U_n / U₀ = 1 + (nr/U₀)

Et ta conclusion ne tient plus...

Cordialement

[Mindyla]

Pour répondre à PlaneteF :

"Si l'on avait V_n = 3 U_n, dans ce cas la suite (V_n) ne serait pas une suite géométrique, mais une suite arithmétique de raison 3r ."

Pourtant, il me semblait que r est un réel constant et ne peut être assimilé à une suite arithmétique U_n, qui elle varie en fonction de la valeur de U_n.

Je suis simplement partie de l'énoncé donné par magnolia77 qui est (en le réécrivant):

Soit u une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r,entiers naturels
Démontrer que la suite v de terme général: v_n=3 U_n
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Je précise que je me suis inspirée d'un livre de maths fraîchement conservé et qu'il y avait un exercice similaire (c'est de ce bouquin que j'ai réutilisé les "outils" ou propriétés que j'ai décrit à la fin de mon raisonnement).


Pour répondre à Ulyss:

Si on prend le raisonnement "à l'envers":

V_n = V₀ x qⁿ (la suite V géométrique, ce qu'il faut démontrer)

V_n/V₀ = qⁿ

Or l'énoncé nous dit que V_n = 3 U_n

donc V_n/V₀ = 3 U_n / 3 U₀ = qⁿ

ce qui revient à dire que V_n/V₀ = U_n / U₀ = qⁿ

Voilà pourquoi dans mon raisonnement, j'ai laissé apparaître : V_n= 3x U₀ x U_n / U₀

que l'on peut remplacer par qⁿ


Cependant, je ne remets pas complètement en cause ce que vous dîtes:

en effet, en relisant tout cela, je me rend compte que mon raisonnement est bon si et seulement si on part du principe que l'énoncé dit que V_n = 3 U_n.

Par contre, reste à savoir si l'énoncé est bien écrit de cette façon:

la preuve qu'il n'est pas très clair puisque toi-même PlaneteF tu pensais que c'était : V_n = 3 ^U_n

Si l'on part de cette expression, il est évident que mon raisonnement devient faux.

Il faudrait que magnolia77 nous réécrive son énoncé qui à la base est écrit comme cela:

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r,entiers naturels
Démontrer que la suite v de terme général: v^n=3^U^n
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

=> la question est: est-ce que n est bien en indice et non pas en exposant ?
Et est-ce que l'on a V_n = 3 U_n ou V_n = 3 ^U_n ?


Merci tout de même à PlaneteF et à Ulyss pour m'avoir remis en doute sur l'écriture exact de cet énoncé

P.S: ce n'est qu'une proposition de solution. Si je me suis trompée d'énoncé, alors autant pour moi

[PlaneteF]

Pour répondre à PlaneteF :

"Si l'on avait V_n = 3 U_n, dans ce cas la suite (V_n) ne serait pas une suite géométrique, mais une suite arithmétique de raison 3r ."

Pourtant, il me semblait que r est un réel constant et ne peut être assimilé à une suite arithmétique U_n, qui elle varie en fonction de la valeur de U_n.

Mindyla,

... Mais en aucune manière je n'assimile à une suite arithmétique ??! ... D'ailleurs cela n'aurait aucun sens.

Dans le cas où , on a tout simplement : donc par définition est bien une suite arithmétique de raison , et dans le cas général en aucune manière il ne s'agit d'une suite géométrique.

Prenons un exemple tout simple :

Soit la suite arithmétique de premier terme et de raison .

On a donc : , etc ...

Et donc : , etc ...

Tu vois bien que la suite n'est pas une suite géométrique et mais qu'il s'agit bien d'une suite arithmétique de raison à savoir !!!


Cdt

[Mindyla]

Autant pour moi PlaneteF.

J'espère que magnolia77 va y voir clair, elle qui demandait des explications...

Bonne journée à tous

[Mindyla]

Au fait, mon raisonnement peut être vrai si U est à la fois arithmétique et géométrique.

En effet, en reprenant notre raisonnement:

V_n+1 = 3 U_n+1

V_n+1 = 3 x (U_n + r) = 3 U_n + 3r = V_n + 3r (là-dessus, on est d'accord)


Le but est de démontrer que V est géométrique:

cela signifie qu'elle admet une raison q non nulle telle que : q = V_n+1 / V_n

Or cela signifierait que:

q = V_n+1 / V_n = [ V_n + 3r ] / V_n

q = 1 + [3r / V_n] = 1 + [3r / 3 U_n] = [U_n + r] / U_n = U_n+1 / U_n

q = U_n+1 / U_n ?


Supposons que U_n soit une suite à la fois :
- arithmétique de raison r
- géométrique de raison q


Pour tout n,
U_n =U₀+r.n = U₀.qⁿ
Pour n=1 : U₀+r = U₀.q
Pour n=2 : U₀+2r = U₀.q²

Donc on a le système suivant:

q - (r/U₀) = 1
q² - 2(r/U₀) = 1


Par substitution : [ 1 + (r/U₀)²] - 2 (r/U₀) = 1

Donc r=0 et q=1.
Donc la suite est constante.
Réciproquement, toute suite constante convient.

Conclusion: Une suite est à la fois arithmétique et géométrique si elle est constante.


C'est quoi l'énoncé exactement ? Lol

[Teddy-mension]

Bonjour Mindyla,

Conclusion : Une suite est à la fois arithmétique et géométrique si elle est constante.

On pourrait même rajouter "si et seulement si".

C'est pas un scoop, et c'est finalement assez intuitif : dans une suite arithmétique, "on passe d'un terme à l'autre en ajoutant toujours la même chose". Et dans une suite géométrique, "on passe d'un terme à l'autre en multipliant toujours par la même chose".
Or, si on additionne autre chose que 0 à chaque terme, on voit bien qu'on ne pourra jamais trouver un coefficient qui peut traduire l'addition en question. De même si l'on multiplie par autre chose que 1, dans le cas où la suite admet un premier terme non nul (il est clair que si le premier terme est nul, on peut prendre n'importe quelle raison, ça restera constant).

[Mindyla]

Bonjour Teddy-mension.

Merci pour ta réponse, j'aurais appris quelque chose.

Et puis, bon courage à magnolia77: je pense qu'avec toutes ces réponses, tu trouveras une solution.

[Lari]

@Magnolia77 : ne te perds pas dans tous les développements précédents. Je te conseille de suivre et de te concentrer sur le bon post #2 de planeteF qui donne la démarche adequat. Après, il faut voir si tu la comprends, et essayer de voir ce qui manquerait pour y arriver toi-même. Donne-nous des nouvelles

[PlaneteF]

@Mindyla

Franchement, tu compliques vraiment des choses qui à la base sont vraiment très simples ... Par ailleurs, petite remarque annexe, dans tous tes calculs tu manipules des quotients sans te poser une seule fois la question du cas où le dénominateur serait nul !

Cordialement

[Socratetplaton]

@ Lari et @ PlaneteF

Vous êtes qui pour juger le travail de votre collègue ?

Par ailleurs, en tant qu'enseignant chercheur, je remarque que les développements qu'elle a développés ne sont pas inexacts si l'on part du principe que V_n = 3 U_n.

Après, c'est vrai qu'il est possible que ça ne soit pas V_n = 3 U_n et peut-être V_n = 3 ^U_n, mais pour cela, encore faut-il que magnolia77 réponde aux personnes qui essayent de l'aider et ce sera à elle de clarifier l'énoncé par une expression plus correcte que v^n=3^U^n.

En attendant, mindyla, tu n'as peut-être pas trouvé la solution exacte mais tu peux être fière de ton investigation et de ton dévouement aux autres parce que c'est une excellente manière d'expliquer quelle démarche que doit avoir tout scientifique quand personne ne peut l'aider.

[Lari]

On est là simplement pour aider une personne en essayant de comprendre son problème partant de ce qu'elle a compris et de ce qu'elle est capable de faire. Merci de suivre les différents posts de Magnolia77 pour le saisir.
Cordialement

[PlaneteF]

Bonsoir Socratetplaton, et bienvenu sur ce forum,

@ Lari et @ PlaneteF

Vous êtes qui pour juger le travail de votre collègue ?

Pour ce que j'ai dit, c'est si grave que cela de dire qu'un développement est compliqué alors que la solution est très simple ??! ... C'est si grave que cela de rappeler à considérer qu'un dénominateur ne doit pas être nul ??! ... C'est justement à cela que sert un forum, à échanger, pas à faire des monologues.

Par ailleurs, en tant qu'enseignant chercheur, je remarque que les développements qu'elle a développés ne sont pas inexacts si l'on part du principe que V_n = 3 U_n.

Ce qui a été dit dès le début était complètement faux, ... là encore c'est le but d'un tel forum que de le dire.

Après, c'est vrai qu'il est possible que ça ne soit pas V_n = 3 U_n et peut-être V_n = 3 ^U_n, mais pour cela, encore faut-il que magnolia77 réponde aux personnes qui essayent de l'aider et ce sera à elle de clarifier l'énoncé par une expression plus correcte que v^n=3^U^n.

Dans la mesure où l'énoncé demande de prouver que la suite est une suite géométrique, il ne peut pas s'agir de qui donne une suite arithmétique dans le cas général.


Cordialement

[Lari]

... et incidemment, je ne suis pas prof (ceci explique cela... ? )

[Mindyla]

Merci Socratetplaton mais bon, avec tout le respect que je vous dois, on ne va pas en faire tout un plat !


Et oui, mon raisonnement était peut-être long mais il aurait été vrai si et seulement si U_n avait été à la fois arithmétique et géométrique,
ceci dit je pense que Lari et PlaneteF ont raison, vu que c'est le cas général.

En réfléchissant, je suppose que l'énoncé était bien de démontrer que V_n = 3 ^U_n soit une suite géométrique.

Je me permets de développer cette idée qui a été soulevée plus haut, et quelqu'un pourra me corriger si je trompe:

Soit V_n = 3 U_n

V_n+1 = 3 U_n+1 = 3 ^U_n+r

V_n+1 = 3 ^U_n x 3 ^r

V_n+1 = V_n x 3^r


Du coup q = V_n+1 / V_n = 3 ^r

Et alors on se retrouve avec: V_n = V₀ x 3 ^{r x n}

V est donc une suite géométrique de premier terme V_o et de raison q = 3^r (et qⁿ = 3^{r x n})



P.S: je précise que ça fait quelques années que je ne fais plus de maths : les cours de Term S remontent un peu à loin, mais je n'ai pas complètement tout oublié. Merci de votre compréhension. Je pense que malgré tout, cela aura permis d'éclairer quelques lanternes et que cela sera instructif pour ceux qui ont besoin d'explications.

Allez, bonne soirée à tous. Cordialement.

[gg0]

Myndila,

il aurait été vrai si et seulement si U_n avait été à la fois arithmétique et géométrique,

Il n'y a bas beaucoup de suites qui sont "à la fois arithmétiques et géométriques". Ce sont d'ailleurs des suites très connues !!

Et c'est quand même un argument très spécieux ...

Cordialement.

[Mindyla]

Et c'est quand même un argument très spécieux ...

Je pense que Socratetplaton n'avait finalement pas tort quand il disait "qu'on me jugeait."

Je n'ai jamais dit que Lari et PlaneteF avaient torts, seulement vu que l'énoncé n'était pas clair (cf. v^n=3^U^n), moi je n'avais pas rejeté l'hypothèse que ça soit V_n = 3 U_n. J'ai juste voulu aller jusqu'au bout de mon raisonnement, ce qui m'a permis de découvrir que ce dernier pouvait être vrai uniquement dans une seule condition (et non pas complètement faux). Or, il s'avère que c'est la cas général et l'hypothèse qu'avait émis PlaneteF dès le départ était plus adéquate: V_n = 3 ^U_n. C'est pour cela que j'ai développé cette idée dans mon avant-dernier post.

Comme je l'ai déjà dit, cela fait un moment que je ne fais plus de maths mais j'ai quand même eu un bac S. J'aime venir sur ce forum pour aider des personnes qui en ont besoin. Moi, personne ne pouvait m'aider et c'est à force de recherches que je finissais par découvrir la ou les solution(s). Et comme le dit Socratetplaton, si magnolia77 avait écrit clairement son énoncé, il n'y aurait pas eu autant de possibilités de réponse.

Je reconnais que c'est un peu long comme dénouement mais de dire que c'est un argument très spécieux est mal me connaître: je n'ai eu aucune mauvaise intention en voulant aller jusqu'au bout de mon raisonnement.

A ce que je vois, il n'y a pas beaucoup de personnes qui ont la patience et la souplesse d'esprit pour être humble et empathique.

[Mindyla]

Pour finir, c'est sans doute alambiqué de m'être rendue compte tardivement que je n'étais pas obligée d'aller aussi loin dans mon raisonnement mais il est clair que :
premièrement, je n'ai pas à me justifier
deuxièmement, cela aura été quand même instructif
troisièmement, l'erreur est humaine !

Et au fait, bonne nuit

[Lari]

A ce que je vois, il n'y a pas beaucoup de personnes qui ont la patience et la souplesse d'esprit pour être humble et empathique.

tu ne crois pas si bien dire... et je me permets de rappeler qu'on a pas revu Magnolia77 sur ce coup là. J'espère qu'elle n'a pas renoncé.

[gg0]

Myndila,

tu n'as pas à te justifier.
Simplement à avoir l'humilité de te rendre compte que, quand tu publies sur un forum, ce que tu écris et lu et peut provoquer des réactions. Ce n'est pas toi qui est jugée (personne ne sait qui tu es), mais ce que tu écris.

Cordialement

[Teddy-mension]

Bonjour Socratetplaton, et bienvenu sur ce forum.

@ Lari et @ PlaneteF
Vous êtes qui pour juger le travail de votre collègue ?
Par ailleurs, en tant qu'enseignant chercheur [...]

Pour un premier message, je trouve assez audacieux de - sans même saluer personne - se permettre de critiquer le jugement de personnes pionnières de ce forum, qui ont souvent contribué à l'aide de nombreux étudiants ici.

Je souhaiterais donc juste rappeler que l'esprit de ce forum est avant tout d'échanger des idées, des avis et des raisonnements pour aboutir à une plus grande compréhension des sciences (ici, des mathématiques), et qu'il est par conséquent tout à fait constructif pour Myndila de recevoir des critiques et des jugements de personnes peut-être plus qualifiées qu'elle dans ce domaine. C'est aussi comme ça qu'on apprend et qu'on progresse - m'enfin tout ça vous devez le savoir, vous qui clamez fièrement que vous êtes enseignant chercheur (ce qui n'est au passage pas nécessaire pour distinguer le vrai du faux dans le message de Myndila, comme vous aviez l'air de le prétendre).

Bonne journée à tous.

[topmath]

Bonjour à tous : On lisant les messages précédant je trouve que ce forum est super , et répond en majorité des cas aux préoccupations des lectures , je remercie la modération ainsi que tout les personnes pionnières de ce forum , qui trouvent toujours du temps à nous répondre ( Orienter , guider,suggérer ,voir corriger les sujet de nos discussion ...) encore merci .

Amicalement

Charte du forum

[Mindyla]

Teddy-mension

Re : D'une suite arithmétique à une suite géométrique
Bonjour Socratetplaton, et bienvenu sur ce forum.

Citation Envoyé par Socratetplaton Voir le message
@ Lari et @ PlaneteF
Vous êtes qui pour juger le travail de votre collègue ?
Par ailleurs, en tant qu'enseignant chercheur [...]
Pour un premier message, je trouve assez audacieux de - sans même saluer personne - se permettre de critiquer le jugement de personnes pionnières de ce forum, qui ont souvent contribué à l'aide de nombreux étudiants ici.

Je souhaiterais donc juste rappeler que l'esprit de ce forum est avant tout d'échanger des idées, des avis et des raisonnements pour aboutir à une plus grande compréhension des sciences (ici, des mathématiques), et qu'il est par conséquent tout à fait constructif pour Myndila de recevoir des critiques et des jugements de personnes peut-être plus qualifiées qu'elle dans ce domaine. C'est aussi comme ça qu'on apprend et qu'on progresse - m'enfin tout ça vous devez le savoir, vous qui clamez fièrement que vous êtes enseignant chercheur (ce qui n'est au passage pas nécessaire pour distinguer le vrai du faux dans le message de Myndila, comme vous aviez l'air de le prétendre).

Bonne journée à tous.

Salut Teddy-mension. Je ne pense pas que Socratetplaton a voulu vous critiquez dans le fond, je pense qu'il voulait simplement valoriser ma découverte. Le fait qu'il n'a salué personne n'est effectivement pas ce qu'il y a de mieux mais sans doute a-t-il trouvé ça injuste en partie (bien que c'est mon raisonnement qu'on jugeait et pas ma personne). Je suis contente que des modérateurs interviennent parce que quand j'ai lu ton dernier message, je me suis demandé quelle aurait été sa réaction. Merci à vous tous pour vos conseils et merci quand même à Socrateplaton pour son soutien

Bonne journée

[Deepika R.]

Bonsoir,
excusez moi je n'ai pas pu répondre ces derniers temps
En effet , c'est bien Vn = 3^ Un
Je suis désolée j'ai fait une erreur.
C'est vrai que maintenant je confonds un peu toutes les méthodes mais je suis en train de relire les différentes aides apportées
Merci à tous

[gg0]

Les messages #2 et #3 te donnent 2 méthodes adaptées à ton énoncé. Il te suffit d'en appliquer une. C'est très rapide (formules de fin de collège sur les puissances).

Cordialement.

[Mindyla]

Et ce message-là résume le raisonnement à avoir: toi qui avait besoin d'explications

Mindyla

Re : D'une suite arithmétique à une suite géométrique
Merci Socratetplaton mais bon, avec tout le respect que je vous dois, on ne va pas en faire tout un plat !


Et oui, mon raisonnement était peut-être long mais il aurait été vrai si et seulement si Un avait été à la fois arithmétique et géométrique,
ceci dit je pense que Lari et PlaneteF ont raison, vu que c'est le cas général.

En réfléchissant, je suppose que l'énoncé était bien de démontrer que Vn = 3 Un soit une suite géométrique.

Je me permets de développer cette idée qui a été soulevée plus haut, et quelqu'un pourra me corriger si je trompe:

Soit Vn = 3 Un

Vn+1 = 3 Un+1 = 3 Un+r

Vn+1 = 3 Un x 3 r

Vn+1 = Vn x 3r


Du coup q = Vn+1 / Vn = 3 r

Et alors on se retrouve avec: Vn = V0 x 3 r x n

V est donc une suite géométrique de premier terme Vo et de raison q = 3r (et qn = 3r x n)



P.S: je précise que ça fait quelques années que je ne fais plus de maths : les cours de Term S remontent un peu à loin, mais je n'ai pas complètement tout oublié. Merci de votre compréhension. Je pense que malgré tout, cela aura permis d'éclairer quelques lanternes et que cela sera instructif pour ceux qui ont besoin d'explications.

Allez, bonne soirée à tous. Cordialement.