Bonjour, je bloque sur une démonstration où je dois démontrer q'une suite est majorée par 1.
Soit la suite géométrique : P(n+1) = b * P(n) qui représente la modélisation d'une population selon Malthus.
Dans ce cas l'accroissement de population par unité de temps est constant et :
[ P(n+1) - P(n) ] / P(n) = b - 1
Cependant, Verhulst émet l'hypothèse selon laquelle la croissance d'une population est limitée dans le temps. Ainsi l'accroissement relatif de la population parunité de temps est une fonction affine décroissante de la population.
Donc pour tout entier n :
[ P(n+1) - P(n) ] / P(n) = a * (1 - P(n) / K )
avec a = b - 1 et K est la population maximale admise
On remplace alors la suite P par une suite qui lui est proportionnelle pour tout entier n :
Soit x(n) = a/(a+1) * P(n)/K
J'ai réussi à démontrer que la suite x est définie pour tout entier n par :
x(n+1) = k * x(n) * (1-x(n)) en posant k = 1 + a
De plus, je dois démontrer que pour tout entier n, 0 < x(n) < 1.
Je pense que je dois procéder par récurrence.
Pour l'initialisation, je trouve bien que 0 < x(0) < 1.
Cependant, je bloque lors de l'hérédité.
Je trouve que 0 < x(n+1) < k * (1-x(n))
J'essaie alors de démontrer : k * (1-x(n)) < 1
En remplaçant k par a + 1, et donc par b, je trouve :
b * (1-x(n)) < 1
Mais c'est à cet endroit que je ne vois pas comment démontrer cette inégalité. En effet comment puis-je démontrer que b * ( 1-x(n)) est toujours inférieur à 1 ? Je sais uniquement que b > 1 car nous sommes dans le cas d'un accroissement de population et que 1-x(n) est compris entre 0 et 1.
Merci d'avance
-----
