Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

[Matheux68]

Si j'ai bien compris d'après le site , on laisse l'intégrale et on fait la soustraction entre les fonctions ... ( fin c'est ce que j'en ai compris )
=> h=g - f, et après utilisé la positivité pouls la linéarité ... c'est bien ça ?
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[PlaneteF]

Oui pour moi c'est fn+1 qui associé à In+1 et fn associé à In ...

Mais de quelle association parles-tu ... est le terme général d'une suite (terme qui ne dépend que de ), comment à partir de là définis-tu ?!

[Matheux68]

Oui je n'est pas réfléchi quand je l'ai écrit désolé .. Mais j'essais de comprendre ! La je patoge dans la semoule vraiment ... Je suis perdu ...
Que représente dans mon exo f et g du site que tu m'as donné ? J'ai du mal à faire la parallèle

[PlaneteF]

Que représente dans mon exo f et g du site que tu m'as donné ? J'ai du mal à faire la parallèle

[Matheux68]

D'accord je comprends mieux merci ! c'est en faisant g-f que je trouve que le "h" est négatif ?

[PlaneteF]

Concrètement :

Tu montres que la fonction définie par est négative pour tout

Tu appliques la propriété de négativité de l'intégrale qui te permet de conclure que

[PlaneteF]

Remarque :

Oui pour moi c'est fn+1 qui associé à In+1 et fn associé à In ...

Mais de quelle association parles-tu ... est le terme général d'une suite (terme qui ne dépend que de ), comment à partir de là définis-tu ?!

On peut effectivement poser :

Et donc :


C'était peut-être à cela que tu pensais ?!

[Matheux68]

OUI c'était ça !!

[PlaneteF]

OUI c'était ça !!

OK, ... et donc dans ce cas cela revient effectivement à montrer que : ou pour tout

Puis par "croissance de l'intégrale", on obtient bien

[Matheux68]

Là j'ai démontré comme quoi f(x) < 0 ! Mais j'arrive toujours pas avec le pb de la négativité de l'intégrale ...
Pour moi , g(x), c'est g(x)=fn+1(x)=e^((-n+1)x)/(e^x)+1 ? Non ?

[Matheux68]

Voilà c'est comme ça que je voyais ...

[PlaneteF]

Lis ou re-lis le message#39​.

[Matheux68]

Oui j'ai fait la deuxième méthode et je trouve bien que fn+1(x)-f(n)<0 ... Maintenant c'est la justification avec la croissance de l'intégrale qui me bloque ... Je ne sais pas par quel bout le prendre... en plus ici ce que veut c'est la décroissance de l'intégrale non ?

[PlaneteF]

en plus ici ce que veut c'est la décroissance de l'intégrale non ?

Attention il n'y a pas de propriété de "décroissance de l'intégrale", mais seulement de "croissance", propriété qui te permet pour une inégalité de fonctions (avec les propriétés ad hoc) d' "appliquer l'intégrale à cette inégalité" sans changer le sens de cette inégalité --> d'où le nom de "croissance de l'intégrale".

[Matheux68]

Et si Je fais (intégrale 0 à 1)fn+1(x)<(intégrale 0 à 1)fn(x) ? c'est bon ou pas ?

[PlaneteF]

Et si Je fais (intégrale 0 à 1)fn+1(x)<(intégrale 0 à 1)fn(x) ? c'est bon ou pas ?

Ben oui, c'est bien faire cela que d'appliquer la "propriété de croissance" de l'intégrale !

Un lien qui résume les premières propriétés de base de l'intégrale : http://www.maths-france.fr/Terminale...ntegration.pdf

[PlaneteF]

Remarque : Mettre l’inégalité au sens large.

[Matheux68]

Oui oui !! Ah merci !! Tout ça pour ça j'ai envie de dire !!
Bref j'ai enfin mon In+1-In< ou = à 0 ... Maintenant je veux prouver que cette suite est bien minorée ... Est ce que c'est valable de dire que comme elle est décroissante et que l'intégrale est une aire , elle est forcément minorée par 0 ? ( Puisqu'une aire est positive )

[PlaneteF]

Bref j'ai enfin mon In+1-In< ou = à 0 ... Maintenant je veux prouver que cette suite est bien minorée ... Est ce que c'est valable de dire que comme elle est décroissante et que l'intégrale est une aire , elle est forcément minorée par 0 ? ( Puisqu'une aire est positive )

Non, une intégrale peut très bien être négative.

De manière évidente la fonction est positive, notamment sur , et donc en appliquant la positivité de l'intégrale il vient , , soit

[Matheux68]

Oui d'accord ... Alors comment je peux montrer qu'elle est minorée par 0 ? Récurrence ?

[PlaneteF]

Oui d'accord ... Alors comment je peux montrer qu'elle est minorée par 0 ? Récurrence ?

Mais lâche nous avec tes récurrences

Quel que soit , , donc ...

[Matheux68]

Je savais que t'allais dire ça !! Mais en fait c'est bête ! Si In > ou + à 0 il est forcément minorée par 0 non ? Donc convergente ...

[PlaneteF]

Mais en fait c'est bête ! Si In > ou + à 0 il est forcément minorée par 0 non ?

Ben oui, c'est la définition même d'un minorant d'une suite !!! ... A noter que ou (par exemple) sont d'autres minorants.

[Matheux68]

Oui bien sûre !! En tout merci de ton aide !!

Ça était généreux de ta part de prendre le temps de m'aider ( et je conçois que ça n'a pas été facile ) !! Merci beaucoup de ton aide en tous cas !!

[PlaneteF]

Important :

Prend bonne note de ce que t'a montré au début Dicolevrai pour démontrer que la limite de la suite valait .

[Matheux68]

Salut Matheux68!
Théorème des gendarmes.


Après, tu fais tendre n vers l'infinie et tu utilise le théorème des gendarme pour conclure.

Ouais d'accord mais je ne comprends pas les deux dernières inégalités ... D'où elles sortent ?

[PlaneteF]

Ouais d'accord mais je ne comprends pas les deux dernières inégalités ... D'où elles sortent ?

Pour l'avant dernière inégalité, tout simplement parce que sur (et même sur tout ) , , puis application de la "croissance de l'intégrale".

La dernière inégalité est aussi une égalité, c'est un simple calcul d'intégrale avec primitive connue.

[Matheux68]

Ah d'accord !! On a pas fait les intégrale c'est pour ça que je ne comprenais pas !! Merci !! Je peux me contenter que de l'avant dernière non ?

[PlaneteF]

Je peux me contenter que de l'avant dernière non ?

Ben non, sinon comment montres-tu que l'intégrale (dépendant de ) tend vers quand tend ?

[Matheux68]

Ben n> ou = à 1 donc e^-nx , forcément sa tendra vers 0 ...