Exo spe maths term S

[mikadom]

Exercice 1 :
Montrer que pour tout entier naturel n, (2^3n) -1 est divisible par 7.

Exercice 2 :
P étant un nombre premier supérieur ou égal à 5, montrer que :
((2^p) + (p^2))/3 est un entier naturel.

Pour l'exercice 1 j'ai fait :
On a 2^3 =8 congru a 1 modulo 7
Si (2^3n) -1 est divisible par 7 alors on a (2^3n) -1 congru a 0 modulo 7
Or (2^3n) -1 = ((2^3)^n) -1
Congru a (1^n) -1 modulo 7
Congru a 0 modulo 7
Ccl : on a bien montrer que (2^3n) -1 est divisible par 7

Pour l'exercice 2 :
Je sais qu'il faut trouver (2^p) + (p^2) congru a 0 modulo 3
Mais je sais pas comment arriver a cette conclusion

Merci de m'aider ou de me donner des pistes
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[gg0]

Bonjour.

Pour l'exercice 2, tu as sans doute vu le petit théorème de Fermat.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

(2^3n) -1

Cette écriture n'est pas correcte pour exprimer , ... tu ne mets pas des parenthèses là où il faudrait, et celles que tu mets ne sont pas nécessaires.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[mikadom]

Merci de ta réponse mais je ne vois pas comment l'utiliser car le petit théorème dis que :
Soit p un nombre premier, tout a appartient a N, vérifient l'égalité suivante : a^p congru à a modulo p
Du coup si je comprends bien on a alors 2^p congru a 2 modulo 3, c'est ça non ?
Comment fait-on alors pour p^2 ? Cela doit être congru a 1 alors pour qu'enfin on est le tout qui soit congru a 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mikadom]

Désolé PlaneteF c'était pour que l'on comprenne correctement l'expression.

[PlaneteF]

Désolé PlaneteF c'était pour que l'on comprenne correctement l'expression.

... ben justement, si tu veux que l'on comprenne ce que tu écris sans aucune confusion, il faut écrire : 2^(3n)-1

Cdt

[mikadom]

Merci du conseil PlaneteF
Cordialement.

[joel_5632]

bonjour

pour l'exercice 2, quelqu'un a t'il la solution ?

[mikadom]

Toujours en recherche de l'exercice 2

[joel_5632]

je viens de trouver

En fait on a pas vraiment besoin de p premier. p premier est suffisant pour que ((2^p) + (p^2))/3 soit un entier naturel, mais ce n'est pas nécessaire.

Pour p² mod 3, il faut utiliser le petit théorème de Fermat

et pour 2^p mod 3, partir de 2 = -1 [3]

[mikadom]

Merci de ta réponse,
Du coup pour l'exercice 2 :
Pour prouver que tout est congru a 0 modulo 3
On utilise le petit théorème de Fermat qui montre que 2^p congru a -1 modulo 3
Et donc pour p^2 je vois pas comment utiliser le théorème :
Cela voudrait dire que p^2 congru a 1 modulo 3 non ?

Cordialement

[gg0]

Bravo !

[mikadom]

Merci a tous l'exercice est résolu

[joel_5632]

>> On utilise le petit théorème de Fermat qui montre que 2^p congru a -1 modulo 3

euh, là je ne vois pas le rapport avec Fermat

moi je fais:

2 = -1 [3]
2^p = (-1)^p [3]

p premier donc p impair donc

2^p = -1 [3]

[mikadom]

D'accord merci c'est seulement pour p^2 le théorème de Fermat

[gg0]

Heu ... mon message # avec le bravo était pour Joël, pas pour le message pas clair #11.

Fermat donne 2 = -1[3] il faut une étape, et le p premier supérieur ou égal à 5 est nécessaire (2 est premier).

Cordialement.