Suites

[titijuju97]

Partie A

Soit (un ) la suite arithmétique de 1er terme u0 = 0 et de raison 3/11

1) Calculer u1, u2 et u3 (on écrira ces nombres sous forme de fractions irréductibles puis on donnera des valeurs approchées par défaut à 10−6 près).

2) Exprimer un en fonction de n.

3) Donner l'écriture fractionnaire de u36. En donner une valeur approchée à 10−6 près.

Partie B

Soit (vn ) la suite géométrique de 1er terme v1 = 0,63 et de raison 0,01.

1) Calculer v2 et v3 puis v1+v2 +v3 (on donnera des valeurs approchées par défaut à 10−6 près).
n
n
2) On appelle Sn la somme Sn =v1+v2 +...+vn = ∑vk pour tout n de N*.
k=1

Montrer que : Sn = 63/ 99 1− 0,01n .
Donner un argument prouvant que lim Sn = 63/99 = 7 /11.
 n→+∞

3) Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

On note S = 7/11. Existe-t-il un terme de la suite (un) qui a la même partie décimale que S (c'est-à-dire tel que S −un est entier) ?




Pour l'instant j'ai fait:

Partie A
1) On sait que u1 = u0 + 1r. Ainsi u1 = 0 + 1* (3/11) = 3/11 ; u1 = 3/11 = 0.272727
On sait que u2 = u0 + 2r. Ainsi u2 = 0 + 2* (3/11) = 6/11 ; u2 = 6/11 = 0.545454
On sait que u3 = u0 + 3r. Ainsi u3 = 0 + 3* (3/11) = 9/11 ; u3 = 9/11 = 0.818182

2) Soit (Un) une suite arithmétique de raison 3/11. Alors pour tout n de N, un = uo + n r. Qui nous donne, un = n 3/11
3) On sait que u36 = u0 + 36r. Ainsi u36 = 0 + 36* (3/11) = 108/11; u36 = 9/108/11 = 9.818182

Partie B
1) Je ne me souviens plus comment calculer v...

Merci d'avance!
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[Teddy-mension]

Bonjour (non optionnel),

D'accord pour les premières questions !
Juste :

3) On sait que u36 = u0 + 36r. Ainsi u36 = 0 + 36* (3/11) = 108/11; u36 = 9/108/11 = 9.818182

J'ai pas compris le "9" (en rouge). Une faute de frappe ?

Partie B

Soit (vn ) la suite géométrique de 1er terme v1 = 0,63 et de raison 0,01.

1) Calculer v2 et v3 puis v1+v2 +v3 (on donnera des valeurs approchées par défaut à 10−6 près).
Partie B

1) Je ne me souviens plus comment calculer v...

La relation de récurrence d'une suite géométrique se traduit par
*voir dans le cours*

[titijuju97]

Merci beaucoup de votre aide!
Pour la partie B:
1) v(n)=v(0)*q^n
On a donc: v2=q*v1=0,01*0,63=0,0063
Et v3 = q* v2 = 0,01 * 0,0063 = 0.000063

V1+v2 + v3 = 0.63+ 0.0063 + 0.000063 = 0.636364

Mais je suis bloquée sur la question d'après...

Merci encore!

[Teddy-mension]

D'accord !

Juste, encore, attention :

1) v(n)=v(0)*q^n

v₀ n'existe pas ici, ta suite commence à v₁.

2) On appelle Sn la somme Sn =v1+v2 +...+vn [...]

Montrer que : Sn = 63/ 99 1− 0,01n .
Donner un argument prouvant que lim Sn = 63/99 = 7 /11.
 n→+∞

Bon, je ne vois pas vraiment ce que les carrés signifient, mais ici, tu dois bel et bien utiliser la formule de la "somme des termes d'une suite géométriques", qui est.. *voir le cours*

[A voir en vidéo sur Futura]

[titijuju97]

Dans mon cours j'ai quelques formules, mais je ne sais pas le nombre de termes par exemple... et je ne comprend pas ce que c'est ça : [1− 0,01n]

Merci

[Teddy-mension]

Dans mon cours j'ai quelques formules, mais je ne sais pas le nombre de termes par exemple...

Si si.
Si je t'écris v₁+v₂+v₃, tu me diras facilement qu'il y a trois termes.
Si je t'écris v₁+v₂+...+v₅₂₈, tu me diras de même qu'il y a 528 termes.
Donc si je t'écris v₁+v₂+...+v_n, tu me diras alors qu'il y a..

Ici, la formule c'est bel et bien S_n = 63/99 x (1-0,01ⁿ), d'après ce que j'ai pu trouver de mon côté.

[titijuju97]

Aaaaaa! merci! je crois que j'ai compris

2) Il y a n termes
q n’est pas egal à 1, alors, S = 1er terme * (1- raison ^ nombre de termes) / 1- raison

S = 63/99 ( (1- 0,01^n)/ 1-0.01)
Sn = 63/99 [1- 0.01 ^n]


Pour la limite, je ne suis pas sure, mais:
63/99 = 0.636364
et
7/11 = 0.636364

si on calcule v4, sachant que l'on arrondie à 10^-6, la différence sera trop petite donc, lim Sn = 63/99 = 7 /11.
 n→+∞

Merci!

[titijuju97]

Encore la dernière question... je n'ai aucune idée de comment la faire

[Teddy-mension]

q n’est pas egal à 1[...]

Bon réflexe !

Pour la limite, je ne suis pas sure, mais:
63/99 = 0.636364
et
7/11 = 0.636364

Il ne suffit pas de comparer leurs valeurs approchées pour prouver que deux nombres sont égaux.
Arrondi au dixième, 1/3 vaut 0,3. Arrondi au dixième, 3/10 vaut 0,3.
Et pourtant 1/3 n'est certainement pas égal à 3/10..

Et puis tu vas chercher compliqué, ici, tu as juste à mettre 63/99 sous forme irréductible pour avoir directement le résultat.

si on calcule v4, sachant que l'on arrondie à 10^-6, la différence sera trop petite donc, lim Sn = 63/99 = 7 /11.
 n→+∞

?
Suivant les valeurs de x, tu me rappelles vers quoi tend xⁿ quand n tend vers l'infini?

Encore la dernière question... je n'ai aucune idée de comment la faire

Commence par faire de la traduction d'énoncé (toujours, quand la question s'annonce plus difficile !)
Avec des nombres, des lettres, essaye de traduire ce que signifie la question.. Je t'aiderai s'il faut.

Bonne chance.

[ansset]

je pense qu’on appelle partie décimale, ce qui vient « après » la virgule.

[titijuju97]

D'accord, merci, je vais essayer de faire la dernière question