Dérivée

[fulmen]

bonjour,
voilà j'ai du mal à comprendre le principe de la dérivée et de limite en première.
je voulais donc savoir si quelqu'un connaissait un site avec des exercices d'approches pour cette outil et si vous pouviez me réexpliquez ceci car je bloque déçu.
merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

En tapant "exercices dérivation" sur mon moteur de recherche habituel, j'ai trouvé plein d'exercices ...
Mais si c'est pour "comprendre le principe", c'est en cherchant des cours, donc en étudiant les définitions (et éventuellement les présentations qui accompagnent) que tu le feras. Les exercices supposent qu'on sait de quoi on parle.
Très intuitivement, les limites c'est ce qui se passe "à la fin", surtout quand on ne peut que s'approcher de cette fin sans s'y placer. Et le nombre dérivé est une mesure de la vitesse de variation de la fonction.
Le reste est une traduction technique de ces idées.

Cordialement.

[fulmen]

salut,
merci de ta réponse mais ce qui me bloque le plus c'est que pour trouver le taux d'accroissement et le nombre dérivé ont fait le même calcul!!!

est ce que cela veut dire que : le coefficient directeur d'une droite est sont nombre dérivé ?

par exemple Soit A(6, 28) et B(8, 64) et la fonction on a donc comme coefficient directeur de AB et comme nombre dérivé

est ce ceci?
cordialement

[gg0]

Bien évidemment, qu'une partie du calcul est commune.

Mais la dérivée est la limite du taux d'accroissement. Donc ce n'est pas le même calcul.

Et pour une droite, le taux d'accroissement entre deux points est le coefficient directeur (la pente) de la droite. Par contre, une droite n'a pas de nombre dérivé, ce n'est pas une fonction. Mais la dérivée de la fonction , dont la courbe est une droite est bien f'(x)=a et a est le coefficient directeur de la droite.

J'ai l'impression qu'une partie de tes difficultés vient de confusions entre des choses liées mais différentes (droite et fonction affine, taux de variation et sa limite, ...). Si tu ne fais pas la différence, tu ne peux pas comprendre ...

Maintenant, pour ta fonction , calculer le coefficient directeur de la droite AB n'a rien à voir avec la dérivation. Encore une fois, tu es resté dans le flou : On calcule (avec la définition) la dérivée en un point (toi tu en as pris 2)(*). Donc décide en quelle valeur de x tu vas calculer le nombre dérivé. Puis applique strictement la définition (sans transformer ce qui est dit). Tu vas avoir un taux d'accroissement dont il faudra calculer la limite (c'est facile, la fraction se simplifie bien).

A toi de faire ...

(*) façon géométrique de dire : en une valeur de x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fulmen]

si je ne me suis pas trompé on a




h+16
quand h tant vers 0 le taux d'accroissement tend vers 16

ensuite le coefficients de la droite avec deux point (6 , 28) et ( 8 , 64)
comme h = 2 le coefficients de la droite est 18

est ce que j'ai bon?

[Manasa]

Bonjour,

Si tu prends A(6 ; 36) et B(8 ; 64) ton nombre dérivé est :

f'(a) = lim (f(a+h)-f(a))/h <=> lim ((6+h)²+4(6+h)-32-36-24+32)/h <=> lim (36+12h+h²+24+4h-32-36-24+32)/h <=> lim (h²+16h)/h <=> lim (h+16) = 16
h->0 h->0

Si tu dérives f(a)=a²+4a-32 tu as f'(a)=2a+4 alors tu as f'(a) = 2*6+4 = 16
Oh, miracle il est égale au nombre dérivé.
Le nombre dérivé est la formule qui te donne l'image de "a" par la fonction f'(a) dérivée de f sans avoir à dériver. Donc non le nombre dérivé n'est pas le coefficient directeur qui lui est donné par la tangente de formule : T: y = f'(a)(x-a)+f(a)

[fulmen]

bonjour

A(6 ; 36)

euh si on prend la fonction 6²+4*6-32= 36 + 24 - 32 = 28

f'(a) = lim (f(a+h)-f(a))/h <=> lim ((6+h)²+4(6+h)-32-36-24+32)/h <=> lim (36+12h+h²+24+4h-32-36-24+32)/h <=> lim (h²+16h)/h <=> lim (h+16) = 16

ok merci donc la j'avais bon j'ai aussi trouvé 16

Si tu dérives f(a)=a²+4a-32 tu as f'(a)=2a+4

euh comment tu passe de f(a)=a²+4a-32 à f'(a)=2a+4?
comment trouve tu 2a+4?

merci

[Manasa]

Oui, alors je me suis emballé sur la fonction que j'avais pris pour f(x) = x², excuse moi.
Pour passer de f(a) à f'(a) on utilise les propriétés de dérivés que tu n'as pas déjà vu ?
En fait si f(a) = U(a) + V(a) - 32
Alors f'(a) = U'(a) + V'(a) - 0 (la dérivée d'une somme est la somme des dérivées)
Car une constante dérivée donne zéro
Ensuite U(a) = a² par définition U'(a) = 2a
V(a) = 4a ; On pose W(a) = a ; donc V(a) = 4W(a) ; et par définition W'(a) = 1 ; donc V'(a) = 4W'(a) = 4
Donc f'(a) = 2a + 4 - 0

Bon, si tu veux la dérivée de x^n (pour tout n de R sauf n=-1 ; 0) est (x^n)' = n*x^(n-1)

Cordialement,

[fulmen]

ok merci!!!!

par contre non je n'avais pas vu la formule : je ne suis qu'au début du chapitre par contre je n'ai rien compris à la dernière phrase, peut tu m'expliquer ca stp?

[fulmen]

et pourquoi tu as mis un prime à x^n?

[Manasa]

En effet je vais sûrement un peu vite, tout d'abord la dernière phrase c'est la formule générale pour tout x à la puissance n, ce n doit être différent de -1 ou 0.
Ensuite, (x^n)' veut dire que c'est le dérivé de x^n. Lorsque tu as entre parenthèse x^n, cela veut dire que c'est une fonction, et ici f(x) = x^n est (x^n) et donc (x^n)' = f'(x).

[fulmen]

ok merci
et en quel classe on voit ca car à mon niveau je n'ai pas encore vu la formule plus haut avec u(x) v (x) etc...?

[Manasa]

Et bien normalement en 1er et terminal.

[fulmen]

ah parce que je début le programme de première sur les dérivée et je ne l'ai pas encore vu je n'ai vu que la formule du taux d'accroissement et la limite et je bloquais déjà sur ca avec le coef directeur égale au taux d’accroissement et tout alors je n'en suis pas encore la

[gg0]

si je ne me suis pas trompé on a

...

h+16
quand h tant vers 0 le taux d'accroissement tend vers 16

ici, tu as appliqué la formule pour x=6, donc tu calcules la dérivée de g en 6, qu'on note g'(6). Comme c'est la limite du taux d'accroissement d'une droite qui passe par A, 16 est le coefficietn directeur de la tangente en A à la courbe de g.

ensuite le coefficients de la droite avec deux point (6 , 28) et ( 8 , 64)
comme h = 2 le coefficients de la droite est 18

Mais que vient faire B ici, on s'en fout de B.

Revois le cours (ou ce qui t'en tient lieu). La dérivée concerne un seul point de la courbe, je te l'ai déjà dit !
Si tu en es au début de l'apprentissage, lis et relis les explications de début de cours (s'il n'y en a pas, cherche sur Internet, il y a des centaines de cours sur le sujet ...
Revois aussi des cours sur le coefficient directeur d'une droite.

Cordialement.

[gg0]

Manasa :

Donc non le nombre dérivé n'est pas le coefficient directeur qui lui est donné par la tangente de formule : T: y = f'(a)(x-a)+f(a)

Evite ce genre de phrases malsaines ! Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au point correspondant de la courbe de la fonction.
Dire "n'est pas le coefficient directeur" 'est d'autant plus absurde que tu écris l'équation de la tangente "y = f'(a)(x-a)+f(a)" dans laquelle le coefficient directeur est justement f'(a) : y=f'(a)x+f(a)-af'(a).

Cordialement.

[Teddy-mension]

Bonjour,

En effet je vais sûrement un peu vite, tout d'abord la dernière phrase c'est la formule générale pour tout x à la puissance n, ce n doit être différent de -1 ou 0. Ensuite, (x^n)' veut dire que c'est le dérivé de x^n. Lorsque tu as entre parenthèse x^n, cela veut dire que c'est une fonction, et ici f(x) = x^n est (x^n) et donc (x^n)' = f'(x).

Au risque de paraître pointilleux et radoteur, je me permets de rebondir sur ce message parce qu'il me semble important de construire sur des bases solides, surtout quand il s'agit des dérivées, qui représentent THE chapitre d'analyse en première.

(x^n)' veut dire que c'est le dérivé de x^n.

Pour tout , est un nombre, et rien d'autre. Pour tout , est un nombre, et rien d'autre.
On dérive des fonctions, et non des nombres. L'apostrophe est cependant bien une notation de dérivée. Écrire n'a donc absolument aucun sens. Ce qui a un sens, c'est de poser la fonction définie par (je vous fais grâce des domaines de définition pour ne pas encombrer), puis de dériver , ce qui donne bien entendu , une autre fonction. Et dans ce cas là on peut écrire , et ça, c'est la dérivée de évaluée en , et c'est, au passage, également un nombre.

c'est la formule générale pour tout x à la puissance n, ce n doit être différent de -1 ou 0

La formule est bel et bien valable quelque soit dans .

Lorsque tu as entre parenthèse x^n, cela veut dire que c'est une fonction

?
Ça veut rien dire de plus chez moi..

Plus tard il se permettra peut-être de griffonner des notations hasardeuses sur son brouillon pour aller plus vite, mais il n'en reste pas moins que le meilleur apprentissage s'effectue dans la rigueur la plus totale, et pour l'instant, ce n'est pas le moment de plaisanter avec ces dernières.

En espérant avoir été clair,
Cordialement.

[fulmen]

ici, tu as appliqué la formule pour x=6, donc tu calcules la dérivée de g en 6, qu'on note g'(6). Comme c'est la limite du taux d'accroissement d'une droite qui passe par A, 16 est le coefficietn directeur de la tangente en A à la courbe de g.


Mais que vient faire B ici, on s'en fout de B.

Revois le cours (ou ce qui t'en tient lieu). La dérivée concerne un seul point de la courbe, je te l'ai déjà dit !
Si tu en es au début de l'apprentissage, lis et relis les explications de début de cours (s'il n'y en a pas, cherche sur Internet, il y a des centaines de cours sur le sujet ...
Revois aussi des cours sur le coefficient directeur d'une droite.

Cordialement.

bonjour à tout les deux et merci de vos réponse !!!
j'ai bien travailler le début du cours en faisant des exercices et je pense avoir compris:

si on a deux point A(5, 15 ) et B (5+h,f(5+h) et la fonction x²-3x+5

et on veut le coef directeur de (AB), on alorsdoncce qui donne
donc le coefficient directeur de AB est 7+h et lorsque h tend vers 0 on se rapproche d'un réel qui est 7.
est ce que c'est ca ou ai je encore commis une erreur?

[fulmen]

voilà mon cours

et en page deux en bleu on dit bien que le coefficients directeur d'une droite AB est égale à aux taux d'accroissement entre A et B!

est ce que lorsque l'on calcul la limite d'un nombre h doit toujours y figurer ou peut-on le remplacer par un nombre?

[fulmen]

re bonjour,

je crois savoir d'ou vient mon problème, ce n'est pas de l'application des formules ou du mélanges entre droites et fonction, etc...

en fait j'ai du mal à me représenter ce qu'est une dérivée et la limite ( graphiquement, et mentalement) quelqu'un peut m'expliquer svp?

[gg0]

Bonsoir.

message #18 : Ok, sauf que tu te compliques la vie, puisque ton cours définit la dérivée, et donc que tu n'as pas besoin du point B (qui a servi dans ton cours à expliquer ce qu'est la dérivée et à la lier à la notion de tangente). Mais sinon, tu fais un exemple de ce qui est dit dans ton cours. Sans bien comprendre que finalement, ce qui compte c'est la fonction, et l'abscisse du point A, 5 et que tu as calculé f'(5)=7.
Je pense que tu perds ton temps sur des détails sans voir qu'à la fin, ce qui compte c'est la définition d'une nouvelle notion, le nombre dérivé, et son lien avec les tangents aux courbes.

Message #19 : Coefficient directeur ersonne n'a jamais dit le contraire, ni même ne t'a contesté sur ce sujet. Relis bien ! Pour la suite (limite) je ne comprends pas ce que tu demandes.

Message # 20 : Oh si ! Tu fais bien des mélanges; mais c'est normal, il faut apprendre. Une dérivée c'eszt ce que tu es en train d'apprendre. Donc tu ne peux pas savoir ce que c'est avant de le voir. pour l'instant, en P2, tu as la définition du "nombre dérivé de f en a". C'est ça, rien de plus, rien de moins. La question "qu'est-ce que c'est" est rarement utile en maths, sauf à demander une définition; si je te demande "qu'est-ce que c'est qu'un nombre ?", tu vas être bien embêté pour répondre, pourtant tu en manipules depuis des années; si je te demande "qu'est-ce que c'est qu'une racine carrée ?", tu ne t'en sortiras vraiment qu'en donnant la définition (j'espère que tu la connais, c'est très utile en lycée).
Pour les limites, tu peux te contenter, à ton niveau, d'une idée intuitive ("ce qui se passe au bout"). par exemple, la limite quand h tend vers 0 de h+7 est bien 7, car quand h se rapproche de 0, h+7 se rapproche de 7. Bien sûr, il existe des définitions précises, mais elles sont généralement inutilisables, sauf pour démontrer quelques évidences (comme celle sur h+7) et de nombreux théorèmes utiles.

Quant à se représenter (graphiquement ! ???) ces notions, c'est une mauvaise idée. Tu te représentes un nombre, toi ? Un calcul ? Graphiquement ? Donc ne cherches pas des images inexistantes, mais fréquente ton cours, sans trop t'attarder sur les détails, avance, et ça prendra du sens tout seul, par habitude.

NB : J'ai appris seul les dérivées et les intégrales, avec des bouquins bien moins bien faits que ton cours, et sans forum pour répondre à mes questions. mais je suis allé tout de suite à l'essentiel.

Cordialement.

[fulmen]

ok merci, bah je vais faire tous les exercices et je vais comprendre c'est dejà plus clair

et moi aussi j'apprends tous seul mais la c'est le premier chapitre ou je bloque vraiment et çà m’énerve de pas comprendre !!!
en gros pour continuer je dois juste savoir ce qu'est un nombre dérivée, les formules et les propriétés !!

merci beaucoup!

[fulmen]

est ce que lorsque l'on calcul la limite d'un nombre h doit toujours y figurer ou peut-on le remplacer par un nombre?

en fait je demandais si lorsque l'on calcule une limite en dérivation si on pouvais remplaçais le h par un nombre ?

mais j'ai trouvé la réponse à ma question idiote!!! ==> h est déjà un nombre donc oui on peut le remplacer!

[fulmen]

oui je connais la def de la racine carré : la racine carré d'un nombre x, est un nombre qui au carré donne x

[gg0]

Pas de chance,

ce n'est pas la définition. Et d'ailleurs, on ne sait pas, avec ce que tu dis, combien vaut la racine carrée de 4 : C'est -2 ou c'est 2 ?
Voilà la définition :
"la racine carré d'un nombre positif x, est le nombre positif qui élevé au carré donne x"
Les trois mots en gras sont essentiels : le premier parce qu'aucun nombre réel ne peut donner, au carré, un nombre négatif, le deuxième parce qu'il n'y a qu'une seule racine carrée (racine carrée est une fonction), la troisième parce qu'il permet de choisir entre 2 et -2 : la racine carrée de 4, c'est 2.

Cordialement.

[fulmen]

oui je sais ça fait toujours ça chez moi j'ai tendance a dire a peu prés les définitions sans avoir trop de rigueur pourtant j'apprends avec rigueur et je fais de mon mieux mais j'oublie toujours quelques choses !

[fulmen]

une dernière question sur le dérivée:
que veut dire cette propriété : La fonction f est dérivable en a si et seulement s'il existe une fonction ϵ(h) de limite nulle en 0 telle que, pour tout réel h : f(a+h)=f(a)+λh+hϵ(h).

On a alors : f′(a)=λ.

comment trouve t'on lambda, et ϵ(h)?

merci

[fulmen]

je pense que je vais poser une question idiote mais bon: une limite nul est égaleà 0 ou a 1
car si on reprends la définition du dessus avec la fonction : f(x)=x²+1 et le point d'abscisse 2 on a
==> f(2+h)=5+2h+h^2 or on a h*e(h)= h^2 donc e(h)=h cependant e(h)=h a pour dérivée e'(h)=1

donc je ne sais pas si ce que j'ai fait est bon, si oui la limite nul est égale à 1 ??

[gg0]

message #27 : Ta propriété n'est pas complète. Elle s'écrit :
"La fonction f est dérivable en a si et seulement s'il existe une constante λ et une fonction ϵ(h) de limite nulle en 0 telle que, pour tout réel h : f(a+h)=f(a)+λh+hϵ(h)."
C'est simplement une réécriture de la définition : le fait que a une limite finie (notons la momentanément , ultérieurement on l'appellera f'a) ) signifie que la fonction de h a une limite nulle en h=0. Comme, dans l'égalité qui définit , h est non nul, on peut multiplier les deux membres par h :

ce qui est l'égalité donnée dans ta propriété.
réciproquement, en remontant le calcul, on voit que si existent λ et ϵ(h) de limite nulle en 0, alors f est dérivable en a.

Message #28 : "une limite nulle est égale à 0 ou a 1 " !!! Pour toi 1 est nul ???
dans la suite, il y a une énorme erreur de calcul (cherche) et à la fin, tu fais n'importe quoi. Le problème est la dérivée de f. Tu donnes l'impression de faire des calculs pour calculer, pas pour faire ce qui est dit.

Cordialement

[fulmen]

quel imbécile je fais j'ai oublier de mettre le plus 1!!! et c'est 4h!!!
merci encore et le prochaine fois j’essayerais de réfléchir!!!