Trigonométrie : combien de solutions ?

[Okarin]

Bonjour,

Je suis confronté à l'équation suivante :
cos(2x) - cos(x) = 0

Je cherche à savoir :
1) Combien de solutions il y a (sans me donner les solutions svp).
2) S'il existe une méthode pour savoir a priori combien de solutions je suis censé trouver.

Merci pour votre aide !
-----

[ansset]

commence par transformer cos(2x) en fct de cos²(x) et tu aura une piste.
cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi ne pas la résoudre ?

Mais ce qui est évident, c'est que le premier membre étant périodique, s'il y a une solution, il y en a une infinité; or il y a une solution évidente ...

Cordialement.

[Okarin]

J'ai trouvé que est une solution évidente de l'équation. Ca me fait déjà une infinité de solution ().
Est-ce que ça "suffit" d'avoir trouvé une infinité de solutions pour résoudre l'équation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai trouvé que est une solution évidente de l'équation.

Il est surtout évident que cette solution n'en est pas une !

Est-ce que ça "suffit" d'avoir trouvé une infinité de solutions pour résoudre l'équation ?

Pas du tout, tu fais un raisonnement par conditions suffisantes de satisfaction de l'équation, mais pour être sûr d'avoir toutes les solutions il faut aussi faire un raisonnement par conditions nécessaires.


Cordialement

[Okarin]

En effet, merci PlaneteF de me faire remarquer une erreur dans mon énoncé :
cos(2x) + cos(x) = 0

Désolé pour ça !

[PlaneteF]

En effet, merci PlaneteF de me faire remarquer une erreur dans mon énoncé :
cos(2x) + cos(x) = 0

OK, ... mais cela ne change nullement ma 2e remarque que je remets ci-dessous :

Pas du tout, tu fais un raisonnement par conditions suffisantes de satisfaction de l'équation, mais pour être sûr d'avoir toutes les solutions il faut aussi faire un raisonnement par conditions nécessaires.

Cdt

[Okarin]

Concernant le raisonnement par conditions nécessaires, j'obtiens ceci :
cos(2x) = - cos(x)
cos(2x) = cos(x+)
2x = x + ou 2x = - x -

x = ou x =


Est-ce que ça vous paraît juste ? Comment puis-je être sûr d'avoir toutes les solutions ?

Merci.

[PlaneteF]

2x = x + ou 2x = - x -

Si tu oublies de mettre les "modulos", cette équivalence est fausse.

Comment puis-je être sûr d'avoir toutes les solutions ?

Tout simplement parce que tu as raisonné par équivalences c'est-à-dire par conditions nécessaires et suffisantes.


Cdt

[Okarin]

Merci pour ton aide !

Ce que je ne comprends pas cette méthode de conditions nécessaires, c'est pourquoi les deux branches sont nécessaires (le "ou").
J'ai l'impression que la branche de la solution 2x = - x - serait suffisante.

N'est-ce pas redondant d'écrire la solution alors qu'elle semble incluse dans l'autre solution ?

[PlaneteF]

J'ai l'impression que la branche de la solution 2x = - x - serait suffisante.

Cà tu es capable de le dire à posteriori, mais lorsque tu résous l'équation tu ne le sais pas à priori.

N'est-ce pas redondant d'écrire la solution alors qu'elle semble incluse dans l'autre solution ?

C'est clairement redondant, mais pour moi tu n'as pas tout à fait fini l'exercice, ... il faut donner "proprement" l'ensemble des solutions.


Cdt

[gg0]

c'est pourquoi les deux branches sont nécessaires (le "ou").

Dit autrement : Si on remplace le 2x par 3x, la situation change.
En fait, il y a, à ce moment, application d'une règle, qu'on doit appliquer strictement si on veut faire juste :

Il y a deux cas, dans la règle, il y a donc deux cas dans son application.

Cordialement.