Aide exercice entiers.

[Smooth56]

Bonjour !

J'aimerais montrer que :

(ac + bd = 1) et (ad + bc = 0) implique (a² + b² = 1)

Avec a,b,c,d entiers relatif.

Mais je n'y arrive pas, quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Une possibilité est de remarquer que tes deux relations sont équivalentes à , puis en prenant le déterminant de la relation, tu obtiens (puisque l'on travaille dans les entiers) : . Maintenant, il n'existe qu'un nombre fini de solutions, et tu peux vérifier qu'alors .

[Smooth56]

Ok merci je n'y aurais pas pensé,

Pour le déterminant on trouve (c²-d²)(a²-b²) = 1, ce qui revient comme vous l'avez dit à a²-b² = +-1.
Les solutions sont (a = 1 ; b = 0), ( a = 0 ; b = 1), (a = -1 ; b = 0), (a = 0 ; b = -1), et dans tous les cas a² + b² = 1.

Merci ! bonne journée.

[Teddy-mension]

Et si l'on ne maîtrise pas trop l'écriture matricielle, on peut aussi manipuler le système d'équations :



On élève au carré dans les deux relations :



On soustrait la ligne 2 à la ligne 1 :



Et on factorise pour retomber sur nos pattes :



Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]