Équation diophantienne 2: le retour

[Gandhi33]

Bonjour à tous,

Alors que je gambadais paisiblement dans l'univers fascinant de La Mathématique, je me suis retrouvé nez à nez avec une équation diophantienne. Voici la bête:

Trouver tous les triplets avec tels que



Mon premier réflexe fut de mettre tout à gauche et de factoriser pour arriver à un produit nul mais je n'y arrive pas.

Ensuite j'ai remarqué que

Mais je ne sais rien en tirer

J'ai essayé avec les modulo:
Puisque les seuls résidus quadratiques modulo 8 sont 0,1,4 on a que ne peut être congru à 7 modulo 8. C'est tout ce que j'ai trouvé...

Si quelqu'un pouvait m'aider avec quelque méthode que ce soit, il serait le bienvenu

Merci d'avance pour votre aide

Gandhi
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[Médiat]

Bonjour,

Sauf erreur de calcul, on peut démontrer (facilement) que x, y et z doivent être tous les 3 congrus à 0 modulo 3, au moins cela restreint le domaine d'étude.

[Gandhi33]

Merci médiat

En effet, il y a sûrement mieux pour le démontrer (si oui, dites-moi comment svp) mais j'ai fait la liste de tous les cas possibles et je me suis rendu compte que seul le cas où

est possible.

En remplaçant x,y et z respectivement par 3a,3b et 3c j'obtiens une nouvelle équation diophantienne équivalente à résoudre:

avec

Si je fais encore modulo 3, j'enlève encore des possibilités:
J'ai que
soit a,b et c sont congrus simultanément à 0,1 ou 2
soit deux d'entre eux sont congrus à 1 et l'autre à 2
soit deux d'entre eux sont congrus à 2 et l'autre à 1
autrement dit soit ils sont tous congrus à 0 soit aucun n'est congru à 0
Je me dis que peut-être je dois regarder modulo autre chose que 3 mais sinon pas d'idée

[shokin]

Si tu te rappelles que le carré d'un naturel non multiple de 3 est toujours congruent à 1, une petite démonstration par l'absurde devrait t'aider.

Donc on en arrive au fait a, b et c sont tous trois des naturels multiples de 3.

Après, sachant que x, y et z sont multiples de 3, tu peux effectuer une substitution x = 3a, y = 3b, z = 3c, puis exprimer ton équation initiale en fonction de a, b et c ...

Comme 0 < x < y < z < 150, alors 0 < a < b < c < 50.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gandhi33]

Si tu te rappelles que le carré d'un naturel non multiple de 3 est toujours congruent à 1, une petite démonstration par l'absurde devrait t'aider.

Merci, bonne idée voilà, je l'ai fait

Donc on en arrive au fait a, b et c sont tous trois des naturels multiples de 3.

Je suppose que tu voulais parler de x,y et z...

Après, sachant que x, y et z sont multiples de 3, tu peux effectuer une substitution x = 3a, y = 3b, z = 3c, puis exprimer ton équation initiale en fonction de a, b et c ...
Comme 0 < x < y < z < 150, alors 0 < a < b < c < 50.

Ça je l'ai déjà fait! Cf mon message précédent. C'est après que je bloque...

[shokin]

Tu peux déjà séparer en deux cas.

Dans le cas où a, b et c sont multiples de 3, tu peux ré-opérer une substitution. [Pas sûr que ce soit la dernière... ]

[Gandhi33]

Ok tout de suite

[Gandhi33]

Récapitulons:
On doit résoudre avec

*Soit
On peut remplacer comme d'hab et on a
avec
Là je pourrais travailler modulo3 ou modulo9 mais bon je ne progresse pas!

*Soit et et
Bloqué...

[shokin]

Récapitulons:
On doit résoudre avec

*Soit
On peut remplacer comme d'hab et on a
avec
Là je pourrais travailler modulo3 ou modulo9 mais bon je ne progresse pas!

Là, tu vois que A² + B² + C² doit être un multiple de 9... donc, si tu continues modulo 3...

[Médiat]

Bonjour,

En partant de qui a une solution évidente ,
on peut remarquer que si est une solution, alors est aussi une solution (si ),

De proche en proche on trouve : etc.

[Gandhi33]

Bonjour,

En partant de qui a une solution évidente ,
on peut remarquer que si est une solution, alors est aussi une solution (si ),

De proche en proche on trouve :

Merci médiat

Une petite question: comment as-tu trouvé 3ab-c? Tu as juste "remarqué" ou tu as un superprocédé ?

Maintenant il ne reste plus qu'à vérifier qu'il n'y a plus d'autre solution et de multiplier toutes les solutions par 3 pour avoir des solutions en (x;y;z)

[Médiat]

Je ne sais pas si cela peut servir à grand chose, mais
où est le ^ième nombre de la suite de Fibonacci standard, est une solution du système précédent.

[Médiat]

Une petite question: comment as-tu trouvé 3ab-c? Tu as juste "remarqué" ou tu as un superprocédé ?

Je me suis demandé s'il pouvait y avoir plusieurs solution avec 2 nombres en commun

Et en soustrayant les deux équations on une réponse dont il est facile de vérifier qu'elle marche toujours.

[Gandhi33]

Merci beaucoup, c'est très ingénieux ! Je retiens

[Médiat]

où est le ^ième nombre de la suite de Fibonacci standard, est une solution du système précédent.

Pour passer les nombres de Fibonacci de 2 en 2 la formule est
Sur la même idée, si on pose , alors est une solution
Sur la même idée, si on pose , alors est une solution

Il y a peut-être une piste ...

[shokin]

Je me suis demandé s'il pouvait y avoir plusieurs solution avec 2 nombres en commun

Et en soustrayant les deux équations on une réponse dont il est facile de vérifier qu'elle marche toujours.

Faudra que je pense plus souvent à ce genre d'astuces.

Sinon, à chaque fois qu'on fait l'hypothèse que a, b et c sont multiples de 3, on fait une substitution... et ça n'en finit pas... 50, 50/3, 50/9, 50/27, ... donc impossibilité de trouver trois naturels tels que 0 < x < y < z < m (m étant un nombre naturel, en l'occurrence 50). Je ne suis donc pas étonné de voir que, parmi les solutions indiquées par Médiat, chaque triplet est composé de nombres naturels non multiples de 3. Je ne sais pas si, par la même occasion, cela explique [et on pourrait alors chercher à démontrer] que chaque triplet de l'ensemble-solution est composé de trois nombres dont le PGDC est 1.

[Gandhi33]

Bonjour,

Shokin, je ne suis pas convaincu de ce que tu racontes. En effet, tu élimines seulement 1 cas très précis, le cas où l'entier de départ x est multiple de 3^k, tu n'élimines pas le cas où x est multiple de 3^{k-1}.
Je pense que ton raisonnement ne permet pas d'affirmer de x n'est pas multiple de 3

Cordialement

[shokin]

Oups ! c'est vrai ! dans l'équation initiale, on a , qui n'est pas forcément un multiple de 3, alors que, dans les équations de substitutions, on (avec n naturel non nul), qui est forcément multiple de 3.

Oui, x, y et z sont bien multiples de 3, puisqu'on a vu que c'était forcé. On a même effectué les substitutions x = 3a, y = 3b et z = 3c.

Mais est-ce que a, b et c peuvent être multiples de 3 et vérifier l'équation a² + b² + c² = 3abc ? (rappelons que a < 50)

Hypothèse : a, b et c sont multiples de 3.

Il existe donc d, e et f naturels tels que a = 3d, b = 3e et c = 3f.

Substituons donc :

(3d)² + (3e)² + (3f)² = 3*3d*3e*3f

d'où :

d² + e² + f² = 9def (def < 50/3)

9def est forcément multiple de 9.

Donc d² + e² + f² doit aussi l'être.

Or, pour que la somme de trois carrés d'entiers soit un multiple de 9, et comme le carré d'un entier est congruent soit à 0, soit à 1, soit à 4, soit à 7 modulo 9, on arrive aux possibilités suivantes :

- d, e et f sont tous trois congruents à 0 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 1, 4 et 4 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 4, 7 et 7 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 7, 1 et 1 modulo 9.

Observons d'abord les trois dernières possibilités.

On peut substituer d = 9g + 1 + 3t ; e = 9h + 1 + 3(t+1) ; f = 9i + 1 + 3(t+1). [On ne considère pas i comme le nombre complexe bien connu , ni comme toute autre constante.]

On obtient alors une nouvelle équation :

(9g + 1 + 3t)² + (9h + 1 + 3(t+1))² + (9i + 1 + 3(t+1))² = 9*(9g + 1 + 3t)*(9h + 1 + 3(t+1)*(9i + 1 + 3(t+1)) (avec g, h et i < 47/27 et t un nombre naturel)

On constate alors que la partie de gauche est congruente à 3 modulo 9, alors que la partie de droite est congruente à 0 modulo 9.

Exit les trois dernières possibilités !

Regardons maintenant le cas où d, e et f sont congruents à 0 modulo 9.

On peut substituer : d = 9g ; e = 9h ; f = 9i (avec g, h et i < 50/27, ce qui est déjà trop petit, mais regardons quand même, au cas où nous aurions eu un nombre plus grand que 50).

On obtient l'équation :

g² + h² + i² = 81ghi.

Il faut donc que g² + h² + i² soit congruent à 0 modulo 81.

Bon, ce serait un peu plus long... je vais arrêter là... je conjecture qu'on va de nouveau arriver à une "incongruence" , mais faudrait le démontrer, ou trouver un contre-exemple.

[Gandhi33]

Merci beaucoup Shokin,

J'étais arrivé là

- d, e et f sont tous trois congruents à 0 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 1, 4 et 4 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 4, 7 et 7 modulo 9,
- d, e et f sont respectivement congruents à 7, 1 et 1 modulo 9

comme toi mais je n'ai pas eu l'idée (géniale) de faire ça

substituer d = 9g + 1 + 3t ; e = 9h + 1 + 3(t+1) ; f = 9i + 1 + 3(t+1)

Je retiens!

[shokin]

Ça fait gagner un peu de temps. Il est aussi possible de traiter les trois cas séparément (1er cas : d = 9g + 1 ; e = 9h + 4 ; f = 9i + 4), et d'arriver à la même conclusion (en plus de temps).

[Médiat]

Bonjour,
Je suis arrivé à la double suite suivante qui ne donne que des résultats valides (plusieurs fois) les résultats sont pour
On pose,













Conjecture : cette double suite donne tous les résultats valides.

[Médiat]

Pour les curieux avec une bonne calculatrice, une solution de : (780 291 637, 426 389, 998 123 312 425 769)

[Gandhi33]

Merci Mediat

[Médiat]

Une façon plus simple de présenter les choses (sans répétitions) :









Les triplets de la forme sont solution pour