Équation diophantienne

[invitedef1b108]

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver tous les triplets d'entier (x,y,z) qui satisfaisant cette équation diophantienne du second degré:



J'ai essayé par exemple de la simplifier en divisant les deux membres par 9 :



Ce qui donne:



Mais bon je bloque. J'utilise le théorème fondamentale des triplets pythagoriciens mais rien n'en sort de concluant.
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Je dirais qu'il n'y a pas de solution : D'abord, quitte à diviser x, y et z par un diviseur commun, on peut les supposer premiers entre eux deux à deux. En réduisant l'égalité modulo 4, on obtient , or un carré modulo 4 est congru à 0 s'il est pair ou à 1 s'il est impair. La seule possibilité est donc que x, y et z soient tous pairs, ce qui en contradiction avec la possibilité de les prendre premiers entre eux deux à deux.

[AIB]

Bonsoir,

9= 25 -16
9y²=25y²-16y²

[ericcc]

Et alors ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[AIB]

Après la solution élégante de Seirios, je me demande puisque

9y²=25y²-16y² et

9y²=11z²-5x² ,

s'il existe x et z tels que :

25y²=11z² et

16y²=5x²

[Tryss]

Après la solution élégante de Seirios, je me demande puisque

9y²=25y²-16y² et

9y²=11z²-5x² ,

s'il existe x et z tels que :

25y²=11z² et

16y²=5x²

Il n'existe pas d'entiers x y et z tels que 25y²=11z² et 16y² = 5x²

En effet, il y a un nombre impair de 11 dans la décomposition en facteurs premiers de 11z², mais un nombre pair dans la décomposition en facteurs premier de 25y². Même raisonnement avec 5 pour x et y

[gg0]

AIB,
utiliserais-tu le "théorème" bien connu :
"Si a-b=c-d alors a=c et b=d"

Je ne vois pas d'autre raison à ta question. Et à ta proposition initiale...