Arithmétique (congruence divisibilité, division euclidienne)

[lilali600]

Bonjour je suis en terminale S en spé math, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.
b) Démontrer que, pour tout n, 3^n+6- 3^n est divisible par 7. En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.
c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1 000 par 7.
d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 + 3^2+ ... +3^n-1=(en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0)∑3^i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors 3n-1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si 3n-1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
Merci d'avance
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[Noct]

Indication pour la 1.c. :

[lilali600]

pourquoi 6 et pas 7 (7x142+6)?

[Seirios]

Parce que et ont le même reste dans la division euclidienne par .

[A voir en vidéo sur Futura]

[lilali600]

ah d'accord donc comme on a 3^1000 et comme 1000=166*6 + 4 c-a-d que 1000 congru 4 (6) donc on peut l'écrire 3^1000 congru 3^4 (6)

[lilali600]

c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de par 7.
d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 ++ ... += , où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Monter que si Un est divisible par 7 alors est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.

[Seirios]

Pour 1.d), il suffit de regarder comment résoudre 1.c) et en déduire un principe général. Pour 2), regroupe les termes de la somme par parquet de six, selon le reste de la division euclidienne de l'exposant par 6, et remarque que est divisible par 7.

[lilali600]

merci mais comment passé pour la 1 c) de modulo 6 à modulo 7 car il est demandé le reste de la division euclidienne de 3^1000 par 7

[Seirios]

Tu confonds deux choses : on réduit l'exposant modulo 6 pour réduire le nombre modulo 7.

[lilali600]

ah d'accord je pensais que c'était partout 7 parce qu'il demande par 7 donc c 1000= 166*6+4 et du coup c 3^1000 congru à 3^4+6*166 (7) c'est ça

[Seirios]

Tu as même une égalité, mais tu n'as pas fini, il te faut encore utiliser la question 1.b) : c'est l'intérêt de regarder la division euclidienne de l'exposant par six.

[lilali600]

Je trouve c 3¹⁰⁰⁰ congru 4 (7)

[Seirios]

Je suis d'accord avec toi.

[lilali600]

Je bloc a présent sur la 2 a et b :/

[Seirios]

Je t'ai déjà donné une indication au message #7.

[lilali600]

donc il faut faire la somme des termes d'une suite géométrique ça donne S= 1* (1-3ⁿ)/ 1-3 = 1-3ⁿ /-2

[lilali600]

et si on factorise par -1 on trouve que Un=(3ⁿ -1)/2 donc 2Un=3ⁿ- 1 ? c ça ou je me trompe ?

[Seirios]

À un moment ou à un autre, il va te falloir chercher un peu. Tu as un début de raisonnement, tu sais sur quoi tu dois conclure, il te ne reste plus qu'à essayer de combler les trous. Essaie d'écrire un raisonnement complet plutôt que de demander de l'aide à chaque étape.