Etude de fonctions

[Clement552]

Bonjour,

J'ai des exercices en maths à faire mais je bloque sur les deux dernier voilà pourquoi je demande votre aide :

I)
Soient f et g les fonctions définies sur R par f(x)=x²-4 et g(x)=|f(x)|
1) Tracez les courbes représentatives de f et g dans deux repères différents.
2) Donnez suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation g(x)=m
3) Donnez un encadrement de f(x) lorsque x appartient à [-3;1]
4) Donnez un encadrement de g(x) lorsque x appartient à [-3;1]

II)
Soit f la fonction définie sur ]1;+oo[ par f(x)=3x+2/x+1
1) Montrez que quelque soit x appartenant à ]-1;+oo[ on a f(x)=3*1/x+1
2) Déduisez-en que f est croissante sur ]-1;+oo[
3) Montrez que f(x)<3, pour tout réel x appartenant à ]-1;+oo[

Je ne sais pas du tout par quoi commencer et comment.

J'ai essayé de tracer les courbes représentatives (du petit 1 de la première partie) des fonctions f et g (voir pièces jointes).

Merci d'avance pour votre aide
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

I)
1) OK !
2) Graphiquement, tu traces la droite d'équation y=m est tu dénombres le nombre d'intersection selon la valeur de m.
Cependant, la résolution peut se faire de manière analytique en résolvant l'équation g(x) = m. Attention l'expression de g(x) change selon le signe de x²-4...
3) et 4) de manière graphique me semble plus facile.

II)
1) c'est plutôt f(x) = 3 - 1/(x+1) que tu dois avoir. Pars de cette dernière forme, mets tout au même numérateur et retrouve celle de départ.
2) Très facile
3) id.

Duke.

[Clement552]

Merci pour ta réponse,

I)
2)Il y a donc 4 points d'intersections pour m=2 : (-2,5;2) , (-1,5;2) , (1,5;2) , (2,5;2) dans un intervalle compris entre [-2,5;2,5]
Si m=0 x² -4 = 0 x = 2 ou x = -2
Si m<0 Il n'y a pas de solution car g(x) est une valeur absolue.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je suis d'accord avec les cas m=0 et m<0.
Mais pourquoi le cas m=2 ?
Il y a trois autres cas qui sont (réfléchis avant de découvrir) :

 Cliquez pour afficher

0<m<4
m=4
m>4

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Clement552]

Donc cela fait :

I)

2)Si m > 4 deux points d'intersection.
Si m = 4 trois points d'intersection.
Si 4 > m > 0, quatre points d'intersection.
si m = 0, deux points d'intersection
si m < 0, aucun point d'intersection

3)Pour x = -3, f(-3) = 5 et pour x = 0, f(0) = -4
donc f(x) appartient à [-4;5]

4)Pour x = -3, g(-3) = 5 et pour x = -2, g(-2) = 0
donc g(x) appartient à [0;5]

(Pour le 3) et 4) je ne sais pas si cette réponse est suffisante, ou si je dois préciser/développer..)



II)

1)f(x) = 3- 1/x+1
f(x) = [3(x+1) - 1]/(x+1)
f(x) = [3x+3-1]/(x+1)
f(x) = (3x+2)/(x+1)

2)On prend x1 et x2 des valeurs de x
x1 < x2
x1 + 1 < x2 + 1
1/(x1+1) > 1/(x2+1)
-1/(x1+1) < -1/(x2+1)
3 - [1/(x1+1)] < 3 - [1/(x2+1)]
f(x1) < f(x2)

3)On a x appartenant à ]-1;+oo[
donc x+1 > 0
1/(x+1) > 0
-1/(x+1) < 0
3-(1/x+1) < 3
f(x) < 3

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

L'ensemble me paraît pas mal.
Maintenant pour le I° 3 et 4, le professeur te demandera pourquoi ne pas avoir pris les extrémités proposées dans l'énoncé...
Il faudrait justifier rapidement ton choix.

Duke.

[Clement552]

D'accord, merci beaucoup pour ton aide.