DM vecteurs seconde

[guillaumedu81]

Bonjour à tous, je suis en seconde et mon prof de maths m'a donné un DM pour m’entraîner à la première scientifique. Je suis bloqué à une question et je souhaiterais avoir des pistes pour y répondre, (mais pas la réponse complète svp), j'ai cherché sur google mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider.
Voici le sujet (c'est sur les vecteurs):

On considère un carré ABCD de côté 5.
Un point M est variable sur le segment [AC].
La parallèle à (AB) en M coupe (AD) en I et (BC) en J.
La parallèle à (BC) en M coupe (AB) en K et (CD) en L.
P est le point d'intersection de (AM) et (IL).
On se place dans le repère (A; 1/5AB; 1/5AC)
On considère que M est d’abscisse 3, ses coordonnées sont (3;3)
Calculer les coordonnées de P en utilisant le fait que I, L, P sont alignés.
La figure est en pj, n'hésitez pas à demander pour + d'infos.
Mon prof à bien précisé de n'utiliser que des connaissances de seconde.


Merci.
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[Floria]

Bonjour,

il te dit expressément d'utiliser le fait que les point I, P et L sont alignés. En terme de vecteur, ça veut dire que et sont colinéaires, ce qui se traduit par une égalité.
De même, les points A, M et P sont alignés, donc tu as d'autres vecteurs colinéaires, une autre égalité.

Traduis ces égalités en termes de coordonnées (en notant par exemple (x;y) les coordonnées de P) et ça devrait passer tout seul
Si tu n'y arrive pas, je te donnerais des détails, mais essaye déjà d'écrire les deux expressions données par les colinéarités de vecteurs.

[guillaumedu81]

Bonjour,
Donc ça donne: IP=P-I=(x-0;y-3)
IL=L-I=(3-0;5-3)=(3;2)
AM=M-A=(3-0;3-0)=(3;3)
AP=P-A=(x-0;y-0)=(x;y)
Ensuite, je ne sais pas quoi faire, j'avais pensé à un coefficient de proportionnalité (Thalès) mais ça ne marche pas. J'ai aussi calculer la fonction représentée par la droite (AC) mais cela n'aboutit à rien. Par contre, même si je pense que ce n'est pas important, j'ai remarqué que les coordonnées de IL multipliées par celles de AM donnent les coordonnées de IP, coïncidence ?
Merci,
Guillaume.

[guillaumedu81]

.....*calculé

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floria]

Si tu as calculé la fonction représentée par la droite (AC), tu peux aussi calculer celle représentée par la droite (IL) et chercher pour quelle valeur de x elles sont égales; ça te donnera bien les coordonnées de leur point d'intersection, qui est P.


Mais, pour rester sur les vecteurs, dire que IP et IL sont colinéaires signifie que IP=k*IL (où k est un réel inconnu)
Donc, comme tu as calculé tes vecteurs, ça te donne (x; y-3) = k ( 3 ; 2)
Donc x=3k et y-3=2k

Ensuite tu utilise l'alignement de A, M et P: AM et AP sont colinéaires donc AP=k' * AM (où k' est un autre réel toujours inconnu)
D'où (x ; y) = k' (3 ; 3)
Donc x=3k' et y = 3k'

Tu as donc un système d'équations que tu dois pouvoir résoudre (en remarquant rapidement que k=k' ) pour trouver x et y.

[guillaumedu81]

Bonjour, désolé mais la je bloque. Je croyais que c'était un système de 2 équations à 2 inconnues, et qu'il fallait le résoudre par substitution ou combinaison mais je n'y arrive pas car il y a 3 inconnues.

[Floria]

Tu as deux systèmes de deux équations, donc 4 équations en tout. Avec seulement 3 inconnues, puisque k=k'.
En résumant, ça donne ça:
x=3k y-3=2k
x=3k y=3k

tu dois pouvoir résoudre ça.