Base section axial cône

[michel.]

Bonsoir,*
la hauteur d'un cone vaut 10 cm. Determinez l'aire de la section passant par le sommet du cone et la corde de sa base dont l'arc vaut 60°, sachant que le plan de la section forme avec la base un angle de 30°*
Bon on sait que la section axial d'un cone est un triangle, donc pour en calculer l'air on a besoin de sa base et sa hauteur.*
jai deja trouver sa hauteur en me servant de l'angle d'inclinaison du plan par rapport**au cercle de base du cone, apres jai utiliser le sinus sur un triangle rectangle dont l'hypothenuse est la hauteur du triangle recherchée, et le coté opposé a l'angle d'inclinaison qui est la hauteur du cone, jai trouvé 20 cm si ca peut aider pour la suite.*
Maintenant cest la base que je narrive pas a trouver, je vais essayer d'expliquer ma démarche : j'ai représenté un triangle ( rectangle) sur le cercle de base qui relie le centre du cercle, le pied de la hauteur du triangle et le point de rencontre entre la corde et le cercle, je peux utiliser le sinus pour calculer la longueur de la moitié de la base, et me servir de l'angle de l'arc étant donné pour deduire la mesure de l'angle voisin puisqu'ils sont complementaires.*
Mais pour ce faire, jai besoin du rayon du cercle que je cherche depuis des heures. Avez vous une idée? Ou peut etre une facon plus simple de calculer cette base? J'espere que jai été claire
(PS:désolée pour les fautes de vocabulaire mathematiques)
merci
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[phys4]

Bonjour,

L'angle de 30° vous a fourni la hauteur du triangle, mais vous pouvez aussi en déduire la distance de la base au centre de la base du cône.

Comme on connait l'arc de 60°, nous avons le rapport entre le rayon de la base et la longueur précédente. Voilà à vous de jouer.

[le_STI]

Je crois que le premier soucis est une interprétation erronnée de l'énoncé:

Determinez l'aire de la section passant par le sommet du cone et la corde de sa base dont l'arc vaut 60°, sachant que le plan de la section forme avec la base un angle de 30°*

Il ne s'agit pas de déterminer la section axiale du cône.

Pour la résolution, la connaissance du rayon est inutile. elle se fait en deux étapes :
1. On a un triangle rectangle dont la hauteur vaut 10cm, l'angle à la base 30° et dont l'hypothénuse est la hauteur de la section dont on cherche l'aire.
2. Vue de dessus, on a un triangle isocèle dont la hauteur est égale à la base du triangle précédant, l'angle au sommet est 60° (ce qui en fait, dans ce cas particulier, un triangle équilatéral) et dont la base est également celle de la section cherchée.

Un peu de trigonométrie et le tour est joué.

[joel_5632]

200 cm² ?
quelqu'un confirme ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[le_STI]

Laissons d'abord Michel faire son exercice.

S'il pouvait nous poster son raisonnement (quoiqu'avec les indications que j'ai donné, il n'y a plus beaucoup à raisonner) et le résultat, cela serait parfait

[michel.]

Bonjour
Aïe visiblement je n'aurais pas dû mettre mon nom en pseudo, je suis une fille juste en passant
Deja je vous remercie énormement
le_STI la section axiale c'est la section qui passe par l'axe du cercle de base, celle-ci n'en ai pas une, cest les sommets qui sont confondus c'est tout, n'est ce pas?
Alors jai bien imaginé la figure de dessus, je vois bien le triangle equilatéral a la base du cône, je confirme que la hauteur est bien la base du triangle rectangle utilisée précedemment pour calculer la hauteur, et la base qui est elle-même la base recherchée;
Comme tous les côtés sont égaux et que jai utilisé une formule qui lie les côtés du triangle et sa hauteur qui est la distance entre le centre du cercle de base de la section ( comme vous avez dis phys4) et que jai deja calculer : 10 racine carrée de 3
la formule étant h = a\/3 /2 ( avec a le côté du triangle ) ce qui nous donne a = 2h / racine carrée de 3 , et puis je n'ai qu'a calculer l'aire et ca confirme votre résultat joel jai eu 200 cm^2 aussi

[michel.]

Je veux juste rectifié une erreur de frappe, je veux dire pour la hauteur que cest la distance qui lie le centre du cercle et la base de la section*

[le_STI]

Désolé pour la réponse tardive.

Effectivement les sommets sont confondus.
La hauteur du triangle équilatéral est bien égal à la distance séparant l'axe du cône et la base de la section recherchée.

[michel.]

Bonjour, merci vaut mieux tard que jamais!
ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi l'angle au sommet est a 60°...

[gg0]

Quand un triangle rectangle a un angle de 30°, ...

[michel.]

Merci gg0,
oui pour le triangle rectangle c'est bien claire que l'angle restant fait 60°
mais la totalité du triangle, comme a dit le-STI, un triangle isocèle, il est formé de deux triangles rectangles, 60° est l'ampleur d'un seul angle, et l'autre ne compte pas?
c'est comme ca que j'ai compris

[le_STI]

Je ne suis pas sûr de bien saisir ce que tu veux dire, mais la règle est simple : la somme des angles d'un triangle fait 180°.

[michel.]

Les angles a part le sommet font 30° chacun, n'est ce pas??

[gg0]

Michel.,

depuis le début tu est dans la flou faute d'une figure, ou au moins d'avoir nommé tes points. Il est difficile de te répondre quand on ne sait pas de quoi tu parles.

[michel.]

D'accord,
J'ai représenté la figure par dessus, on obtient un triangle isocèle dont le sommet vaut apparement 60°
Vous avez parler de triangle rectangle, je suppose que c'est le triangle OAB dont vous parler? Donc j'en conclus que 60° c'est l'ampleur de la moitié de l'angle, pas la totalité

[le_STI]

Peux-tu dessiner le cercle et la corde d'un arc de 60° ?

Je pense que le soucis de compréhension vient de là

[michel.]

C'est exactement ce que j'ai fais, j'ai bien marqué l'ampleur de l'angle formé par la corde qui est 60°

[gg0]

J'ai regardé ta figure, je n'ai pas vu le cône et sa section .
Si tu ne représentes pas le cône (c'est difficile de dessiner), tu peux au moins faire apparaître son sommet, le cercle de base, et les éléments du problème.

Mais j'ai peur que depuis le début tu ne travailles pas sur le sujet ...

[michel.]

gg0 j'ai representé la section du cône, mais avec une vue par dessus pas de coté!! Le triangle sur ma figure represente la section avec une vue par dessus comme j'ai dis!! Le cercle autour represente la base du cone et son sommet est confondu avec le sommet de la section!! Désolée si c'est pas claire mais je ne sais pas comment expliquer autrement

[le_STI]

Effectivement tu as représenté la section vue de dessus, mais tu as dessiné un arc de 120° (deux fois 60° que tu as écrit près du centre du cercle).

En fait, sur ton schéma, le point B est au milieu de la corde de l'arc. Il faut que tu visualise ça vraiment comme un arc d'indien avec sa corde. La corde est tendue entre les deux extrémité de l'arc.

Lorsqu'on parle d'un arc de 60°, ça veut dire que tu dois tracer deux segments qui partent du centre du cercle et qui sont écartés de 60°, chacun de ces segment étant également relié au cercle.

Dans ton problème, la corde représente également la base de la section dont tu dois calculer l'aire.

Par contre, les deux droites que tu as tracées et qui sortent de l'image sont totalement inutiles.

[michel.]

Merci pour vos explications,
mais ce que je n'avais pas compris c'est pourquoi l'ampleur de cet angle est de 60°, est ce que l'arc de la corde y est pour quelque chose?

[gg0]

Avec cette vue, on ne peut plus raisonner sur la figure, puisque l'axe du cône est réduit à un point !
Pas étonnant que tu aies des difficultés ....