Généraliser le raisonnement par récurrence

[Sallsamba]

Salut !
Je suis en Première, et c'est la classe ou on apprend le raisonnement par récurrence (en tout cas dans mon pays).
L'autre jour dans un concours, on nous a demandé de démontrer une propriété pour tous les rationnels. Intuitivement, j'ai pensé au raisonnement par récurrence, avant finalement de laisser tomber en me rappelant que ce type de démonstration n'était valable que pour les entiers naturels.

C'est là que j'ai pensé à un truc, pourquoi n'est-il pas possible de généraliser le raisonnement pour tous les nombres rationnels ? (bon pour les réels c'est pas possible).

La technique consisterait à montrer que si c'est vrai pour un rationnel p/q, alors c'est vrai pour les rationnels (p+1)/q ; ; p/(q+1) ; ; (p+1)/(q+1) et que si c'est vraie pour un rationnel a, alors c'est vraie pour le rationnel -a. Cela, après avoir initialisé en 0.

Et on pourrait en conclure que c'est valable pour tous les rationnels ?
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[gg0]

Bonjour.

Ton idée est bonne.
Il ne s'agit plus vraiment d'une preuve par récurrence, à cause de la dernière étape (-a). Mais on peut démontrer qu'une propriété est vraie pour toute fraction d'entiers strictement positifs p/q par une double récurrence, donc est vraie pour tout rationnel strictement positif. Reste à prouver qu'elle est vraie pour -p/q si elle est vraie pour p/q . et ne pas oublier le cas 0.
La double récurrence peut se faire ainsi :
Démontrer que la propriété est vraie pour 1/q pour tout q >0 par récurrence sur q, puis que si elle est vraie pour p/q, elle est vraie pour (p+1)/q.
C'est plus rapide que ce que tu proposes.

Une autre façon de faire, serait de prendre une "énumération" des rationnels, c'est à dire la liste infinie de tous les rationnels qui est une suite indicée par les entiers, et de faire une preuve par récurrence.

Dans les deux cas, c'est souvent assez lourd, ou difficile.

Cordialement