Intégrale et limite de fonctions

[MattLC3]

Bonjour tout le monde,
je me demandais, peut on calculer l'intégrale d'une limite de fonction? Quand je dis peut-on, je veux dire y a t il une faille dans le raisonnement? Si oui, quelle est la méthode? Je m'explique:

Si on considère une fonction: fn(x)=x+e^(x-1)*n avec x compris entre 0 et 1.

Sachant que quand n tend vers +∞, fn(x) tend vers x, peut on dire que la limite de An en +∞, qui est l'intégrale de fn(x) de 0 à 1, tend vers l'intégrale de 0 à 1 de g(x)=x ? Par la je dis donc que la limite de An est égale à l'intégrale de 0 à 1 de la limite en +∞ de fn(x), qui est égale à l'intégrale de 0 à 1 de g(x)=x. Est ce possible?

Merci d'avance!
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[Matt_error]

Bonjour,
(Je vais te donner une réponse d'un simple bac+2...)

La question est tout à fait légitime !

Dans ce cas, cela marchera.
Il y a des hypothèses à vérifier.
Vois du côté du "Théorème de Convergence Dominée", qui fonctionne ici. (la notion de convergence simple pour une suite de fonctions, et tu l'as très bien comprise, c'est de voir si à x fixé, fn(x) converge vers un nombre, disons f(x)...)

[gg0]

Bonjour.

C'est possible, mais c'est parfois faux. Il arrive que l'intégrale de la limite ne soit pas la limite de l'intégrale. Par exemple, si tu considères la fonction f_n dont la courbe sur [0;1] est l'axe des x de 0 à , puis un segment de droite variant de 0 à 3n sur l'intervalle , puis un segment de droite diminuant de 3n à 0 sur , et enfin l'axe des x jusqu'à 1. L'intégrale de f_n sur [0;1] vaut à chaque fois 1 (aire d'un triangle de base et de hauteur 3n).
Par contre, la limite des f_n est la fonction nulle : f_n(0)=0, donc en 0 la limite est 0; si x>0, alors pour n suffisamment grand (n>1/x) fn(x)= 0 puisque x est après 1/n, donc la limite est encore 0. Donc l'intégrale de la limite est 0, différente de la limite des intégrales, 1.
Tu peux objecter que les fonctions fn s'éloignent de plus en plus de 0 quand n augmente, mais le raisonnement ci-dessus est imparable : Pour tout x, fn(x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. C'est pourquoi on définit diverses notions de limites de fonctions. Ici, j'utilise, comme toi, la notion de "limite simple".

Je vais regarder ton cas, et je reviens ...

[gg0]

J'ai un gros doute sur l'écriture de ta fonction. Tu as écrit

qui tend vers l'infini pour tout x.
Je suppose donc que tu voulais écrire

ce qui fait que l'exponentielle tend vers 0.

Dans ton cas, il est facile de trouver une primitive de f_n, et de voir que l'intégrale tend vers 1/2.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kharge]

tu peux prendre l'intégrale de la limite de f(x), mais que si celle si tend vers un nombre dans R. En revanche, je ne vois pas l'utilité, le seul truc que j'ai en tête ce serait de demontrer que intégrale de f(x) dx < 1.
En sachant que f(x) croissante et converge vers x dans [0:1], alors f(x)<x par linéarité de l'intégrale...

[MattLC3]

Bonjour, merci pour ta réponse!
Alors oui effectivement je me suis bien trompé, c'est bien la deuxième fonction que je voulais écrire! Oui je suis d'accord il est très facile de le faire autrement, c'est d'ailleurs ce que j'ai fais concernant l'exercice, mais en me demandant si je pouvais faire autrement je suis tombé sur le cas que j'ai décris, et je voulais vérifier si c'était possible, par pur intérêt. Ta réponse m'a bien éclairé, il faut donc que je fasse attention dans quel cadre je me trouve!
Merci encore

[MattLC3]

Merci kharge! d'accord il faut donc que je vérifie cette condition merci oui effectivement on pouvait faire autrement, je voulais juste me renseigner par intérêt !

[MattLC3]

Merci Matt_error, je vais aller voir de suite ce théorème!