Développement limité avec formule de Taylor-Young

[Antoniuum]

Bonjour à tous, j'ai une petite question :

Je n'arrive à trouver comment arrive t-on à la fameuse formule d'un développement limité, attention, cela ne concerne pas la démonstration !
Pour la démonstration, il faut en effet appliquer un raisonnement par récurrence mais ce que je ne comprends pas, c'est comment trouve t-on à la base cette formule ?

Par exemple, pour la formule du binome de Newton ou encore la formule de Leibniz qui s'en déduit et réciproquement, en développant les binôme (a + b)^n pour n=1, 2, 3, on peut retrouver en cherchant un peu la formule dite mais avec les développements limités, je ne vois comment !

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Ces formules sont arrivées très vite lorsqu'on a défini la dérivée à la fin du dix-septième siècle. la définition suivante de la dérivée est déjà un développement limité (d'ordre 1) :
f est dérivable en a si pour h proche de 0, il existe un A tel que f(a+h)=f(a)+Ah+o(h); A est noté f'(a)

L'idée géométrique de la dérivée (approcher la courbe par une droite), évidente pour les mathématiciens de l'époque, systématiquement géomètres, se prolonge naturellement par l'idée de prendre une courbe du second degré pour tenir compte de la courbure, d'où un terme du second degré, puis pourquoi ne pas continuer ... Taylor, Young et Maclaurin trouvèrent alors que les dérivées successives permettaient d'écrire les formules de façon agréable.

Cordialement.

[Antoniuum]

Merci pour ta réponse rapide gg0 !

Mais mon problème c'est ce que je comprends l'idée d'approcher la courbe par une tangente avec l'approximation affine que tu as évoqué mais je ne vois pas comment en partant de là, on développe la formule (surtout pour les factorielles qui apparaissent... )

Merci d'avance

[gg0]

Ben ... Comme on trouve ces résultats en cherchant les approximations au premier ordre, au second puis au troisième, on regarde comment ça se généralise. Ce qui veut dire qu'on fait la démonstration générale.

Une fois la formule imaginée (*), il ne reste plus qu'à démontrer !

Cordialement.

(*) juste ou fausse; évidemment, si elle est fausse, on n'arrivera pas à prouver.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antoniuum]

Mais pourquoi une factorielle doit apparaitre ? Je ne vois pas tellement comment faire les approximations aux ordres supérieurs enfaite !

[Antoniuum]

Même si je recherche encore quelques explications, voici tout de même un lien fort utile que j'ai trouvé et qui explique assez bien l'origine pour ceux comme moi qui n'avaient pas mis ceci en relation :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/ana/approxi.htm

[phys4]

Bonjour,

Mais pourquoi une factorielle doit apparaitre ? Je ne vois pas tellement comment faire les approximations aux ordres supérieurs enfaite !

Il faut essayer de deriver le développement pour voir que la dérivée permet d'écrire le terme suivant.
A chaque dérivation, il apparait en facteur la puissance de x.

[Antoniuum]

Pourrais tu montrer un exemple pour les premiers ordres, s'il te plait ?

Merci d'avance

[gg0]

Dérive deux fois.
Dérive trois fois.
Dérive quatre fois.
...
Dérive n fois.

Cordialement.

[Antoniuum]

Ah oui d'accord ! la factorielle apparait mais encore une chose :
enfaite en partant de : f(a + h) = f(a)+ f'(a)h

je dois dériver ce développement ?

[gg0]

Pour quoi faire ?

Je ne comprends pas du tout où tu en es. Si tu as compris comment on a pu trouver cette formule, puis que tu connais la démonstration, enfin que les factorielles qui te posaient question sont bien associées à des dérivées (celles des puissances de x qu'elles divisent dans la formule), je ne vois pas ce qui peut bien te manquer.

La remarque sur la dérivée concerne la dérivation de

Tu peux aussi lui rajouter le o(xⁿ) en démontrant que sa dérivée est un o(x^n-1) (assez facile).

Cordialement.

[Antoniuum]

Oui voilà il est là mon petit problème, c'est que je vois pas comment trouver ce qui suit l'approximation affine avec le h^2/2!

[gg0]

Tu veux refaire la découverte ?

Ce n'est pas très utile, elle a déjà été faite, et tu connais justement la suite; et tu n'utiliseras probablement pas les mêmes idées que Taylor.
Mais si tu y tiens, tu poses
avec
et tu dérives deux fois par rapport à h. puis tu passes à la limite.
Même procédé pour le terme suivant.

Bon calcul !

NB : Il n'est pas évident que ce soit la voie employée par Taylor.

[Antoniuum]

Merci ! Oui c'est de cela dont je parlais, la découverte ! Je sais que ce n'est pas très utile, mais je n'aime pas utiliser des choses dont je ne connais l'origine !
Oar contre désoler si je suis lourd, mais aurais tu une explication pour le f'(a)h^2 qui apparait ? je ne vois pas très bien d'où il sort

[gg0]

Il n'y a pas de f'(a) h².

Et le résultat d'un calcul sort du calcul !!!

Si tu t'intéresses au découvertes, c'est de l'histoire des maths qu'il faut faire. Et la découverte peut être très différente des chemins qu'on prend aujourd'hui !

Sinon, il vaut mieux éviter de trop donner d'importance aux "pourquoi" en maths, car ils sont souvent une façon de refuser d'avancer. La preuve d'un résultat ne dit pas pourquoi il est là, mais ce n'est pas très différent d'autres situations : la découverte de l'Amérique n'a pas dit pourquoi il y avait un continent à cet endroit-là.

Cordialement.

[Antoniuum]

Oui je comprends bien mais si il y a un f'(a)h^2, le Ah^2 !

[gg0]

Non !

A n'est pas en rapport avec f'(a).

Fais le calcul, écris-le ici, je verrai où tu coinces.

[Antoniuum]

Alors que signifie le A et comment arrive t-il ?
Car moi je pars de : f(a + h)= f(a) + f'(a)h + o(h)

[gg0]

Ah !

Et alors ? Si tu fais un calcul qui ne sert à rien ... Et si tu ne lis pas mes explications (messages #2 et #13), il est inutile que je continue ...

D'ailleurs, comment peux-tu arriver à ce f'(a)h² à partir de f(a + h)= f(a) + f'(a)h + o(h) ?


Bon, je crois que j'ai tout dit, fais-en ce que tu veux.

[Antoniuum]

Excusez mon incompréhension mais voilà ce qui est écrit dans votre message 2 !
"il existe un A tel que f(a+h)=f(a)+Ah+o(h); A est noté f'(a)"

Ici A = f'(a) !

J'ai bien lu tout vos messages et c'est pour cela que je ne vois pas d'où vient le "Ah^2"

[gg0]

C'est dit dans le message #2, plus loin, et c'est dans la formule. Avec A=f"(a)/2

Je ne comprends pas ce que tu fais ... Tu veux savoir d'où vient cette formule, je te l'ai expliqué du début. Tu me donnes l'impression de vouloir faire apparaître cette formule par magie. mais la démonstration le fait déjà !
Tu parles aussi d'un f'(a)h² alors qu'il n'y en a pas dans ce que j'ai écrit, et tu ne sembles faire aucun calcul ...

[Antoniuum]

Mais non au contraire, je ne comprends pas d'où vient cette magie !

Alors si c'est évident car ce ne l'est pas pour moi, pouvez vous partir de l'approximation affine qui se démontre par l'équation réduite de tangente et montrer comment appariassent chacun des termes suivants au moins jusqu'à l'ordre 2 ou 3...

Merci d'avance

[gg0]

Ben ... on les fait apparaître. Ils ne vont pas apparaître tout seuls. Et je t'ai dit comment faire, mais tant que tu ne fais pas ce que je t'ai proposé.

Si tu ne présentes pas ici les calculs que je t'ai proposé, je n'interviens plus, puisque tu baratine au lieu de chercher.

[Antoniuum]

J'ai fais les calculs ! Mais je ne comprends pas comment on s'y prend ! Je sais pas si je dois dériver à partir de l'approximation affine ou faire autre chose puisque vous m'avez dit de dériver à partir d'une formule dans laquelle je ne comprends pas déjà d'où vient le Ah^2 !

Alors si vous faisiez juste ce que j'ai demandé et que je compare après, je pense que je pourrai comprendre !

Merci d'avance

[gg0]

Bon, j'en conclus que tu ne sais pas dériver, ou que tu ne veux pas.

Ciao !

[Antoniuum]

Ne soyez pas désagréable comme ça, si vous savez tant la retrouver cette formule, répondez à ma question : partez de l'approximation affine et voyons après. Car dériver cette approximation, moi ça me donne pas le terme suivant

[Antoniuum]

Bon après avoir repris à tête reposé le calcul, j'ai compris ! J'ai juste écris la forme de l'équation d'une tangente, puis d'une courbe du second degré, troisième degré.. Puis en dérivant on arrive bien sur le résultat !
Enfaite je devais être un peu fatigué et lorsque je dérivais, j'avais oublié que les f(a) n'avaient pas la variable h et s'annulaient donc !

Ouf, ça fait du bien de comprendre la formule maintenant, merci à toi en tout cas gg0, en relisant tes messages étaient bien clairs sauf la formule du Ah du #2 qui m'avait induit en erreur car je croyais que A=f'(a) partout ...!

Juste une dernière question, pourquoi on écrit pas alors pour le cas de Ah^2 ; A = f''(a+h)/h^2 ?

[Antoniuum]

A = f''(a+h) h^2/2! *excusez moi