Démonstration de l’unicité de l’élément neutre d’une loi interne, lorsque il existe

[GopithanSVG]

Bonjour tout le monde,

Je viens de regarder une démonstration de l’unicité de l’élément neutre d’une loi interne, lorsque il existe, que je ne comprend guère trop, et je voudrais que quelqu'un m'explique explicitement sur ce sujet.

voici d'abord la demonstration:

Soit E un ensemble muni d'une loi interne associative, qui, pour la généralité de l'exposé, sera notée ∗
Soient deux éléments e et e' vérifiant la définition de l'élément neutre, c'est-à-dire, pour tout élément v de E

v∗e = e∗v = v
v∗e'= e'∗v = v


Alors, la première propriété utilisée avec v = e' donne :

e'∗e = e∗e' = e'

La deuxième propriété, utilisée avec v = e donne :

e∗e' = e'∗e = e

En comparant les deux résultats, il vient l'égalité :

e = e'

J'ai donc plusieurs questions a vous poser:

- est ce qu'il y a plusieurs operations dans cette demonstration ( c-à-d la multiplication et l'addition ) ?

- est ce que e était déjà égale à e' avant qu'on arrive à la conclusion ?

- à quoi sont égales e et e' ?

Merci.
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[gg0]

Bonsoir.

" est ce qu'il y a plusieurs operations dans cette démonstration" Lis, tout est écrit.*
" c-à-d la multiplication et l'addition" ?? Où as-tu vu une multiplication ? Une addition ?
"est ce que e était déjà égale à e' avant qu'on arrive à la conclusion" ben ... si on l'a prouvé, c'est qu'ils étaient égaux mais qu'on ne le savait pas (on ne le supposait pas). Lis la preuve : "Soient deux éléments e et e' vérifiant la définition de l'élément neutre ..."
" à quoi sont égales e et e' ?" ben ... à l'élément neutre de l'opération *, loi de composition interne sur E.

Tu ne sembles pas comprendre qu'on parle en toute généralité, et que ça pourra s'appliquer à une infinité de situations.

Cordialement.

[pallas]

tu dois comprendre que la loi * est non nominative donc que e est l'élement neutre de cette loi
au départ de la démonstartion e' est un second element neutre de cette loi et la démonstration permet d'établir que e =e'
A noter que la loi mentionné est de plus commutative

Ainsi si * est la multiplication dans R e=1
si * est la loi de composition ° des fonction ( non abélienne) e= application identique
Si * est la loi x des matrices 2x2 e= [ 1 0
[ 0 1
etc

[gg0]

Heu ... Pallas, la commutativité n'est pas utilisée ici. C'est bien pourquoi les définitions sont si longues. la seule propriété utilisée est l'xistence d'un élément neutre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GopithanSVG]

Merci a vous deux, j'ai bien compris maintenant, la seule qui me gène c'est« la loi de composition ° des fonction » et « la loi x des matrices »,vu que je suis 3ème cette année de plus je voudrais avoir si la loi * sert seulement qu'à démontrer des égalités ou pour bien d'autres choses et est ce qu'il existe autres operation que l'addition (sous-ent. soustrac) et la multiplication (sou-ent. division) et qui sont applicables dans la vie quotidienne ?

Cordialement.

[gg0]

Il existe de très nombreuses lois de composition internes (LCI), et aussi des lois externes. Une loi (une opération) n'a de sens que dans le cadre de l'ensemble dans laquelle elle est définie. Et elle sert évidemment à faire des calculs. Je ne sais pas ce que tu appelles la loi *. Dans ton premier message, c'est une notation pour remplacer n'importe quelle LCI.
Quelques exemples de LCI :
notées généralement avec + : addition des nombres réels ou complexes, addition des vecteurs, addition de fonctions, addition de multiplets ou de matrices de même dimension
notées généralement avec x : multiplication des nombres, multiplication des fonctions, produits de matrices nxn, ...
notées de façon particulières : produit vectoriel (mais parfois noté x), composition des applications d'un ensemble X dans lui-même, produit de convolution de fonctions causales, ...

D'autres exemples de lois externes : produit d'un vecteur géométrique (plan ou espace) par une scalaire (nombre), multiplication d'une fonction numérique par un réel, produits de matrices,

Toutes ces opérations peuvent être utiles, mais ne servent pas "dans la vie quotidienne", où on ne fait quand même pas tant de maths que ça. mais sont très utiles en maths et plus généralement en sciences et souvent aussi aux techniciens et ingénieurs.

Cordialement