domaine de definition d'une fonction puissance

[mathiop]

Bonjour,

Je ne comprends pas pq la fonction x^(3/2) est définie sur ]0, + infini[, j'aurai dit que le domaine était de ℝ.

J'ai lu sur un cours sur internet que:
-Si n ∈ ℕ, la fonction x^n est définie sur ℝ
-Si p ∈ ℤ, la fonction x^p est définie sur ℝ *
-Si α ∈ ℝ, la fonction x^α est définie sur ] 0 ; + ∞ [

pourtant, d'après ma calculatrice, si je prends un n qui appartient à ℝ et qui n'appartient ni à ℕ, ni à ℤ, tel que n = 1,2, je vois que le domaine de definition de x^n soit x^1,2 est ℝ et non ] 0 ; + ∞ [

Donc merci de m'expliquer la régle de base sur l'ensemble de définition d'une fonction x puissance quelque chose

Cordialement,
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[pm42]

Je ne comprends pas pq la fonction x^(3/2) est définie sur ]0, + infini[, j'aurai dit que le domaine était de ℝ.

Cette fonction est l'équivalent la racine carré de x à la puissance 3. La racine carrée, c'est la puissance 1/2 et son domaine de validité est bien [0, +infini[

pourtant, d'après ma calculatrice, si je prends un n qui appartient à ℝ et qui n'appartient ni à ℕ, ni à ℤ, tel que n = 1,2, je vois que le domaine de definition de x^n soit x^1,2 est ℝ et non ] 0 ; + ∞ [

Essaie avec n=0,5 pour voir.

[shezone]

bonsoir

Sinon tu peux aussi réécrire x^(3/2) = exp( (3/2)* ln(x)).
Et voir que le domaine de définition est le même que celui du logarithme

Cordialement

[mathiop]

tout d'abord merci de votre réponse shezone ,

d'accord mais le domaine de définition du logarithme, c'est a dire du ln(x) est ]0, + infini[ et ce domaine de definition ne varie pas suivant la valeur de n de x^n mais suivant la valeur de x
donc je ne vois pas comment ca peut m'aider...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathiop]

pm42 merci de votre réponse,

donc x^(3/2) = (racine de x)^3
domaine de def de racine de x: [0, + infini[
mais qd on passe le racine de x à la puissance 3 je ne comprends pas pq le 0 sort du domaine de definition

x^0,5 = racine de x, le domaine de définition est [0, + infini[ mais je n'arrive toujours pas à comprendre

[mathiop]

de plus shzeone vous me dites que x^(3/2) = exp( (3/2)* ln(x)) donc j'en conclus que x²=exp(2ln(x)) sauf que c'est faux car x²=exp(2ln(x)) existe seulement sur ]0, + infini[ en raison du ln

[shezone]

x^y a du sens lorsque
* y est entier relatif (c'est la définition de puissance qu'on voit en quatrième), et dans ce cas pour tout x réel (même négatif!) quand y>0 et réel non nul sinon.

* x>0. Dans ce cas, on peut étendre la définition aux y non entiers par x^y=exp(ylnx). Mais il faut que le x soit strictement positif;

[shezone]

Pour x^n ou n appartient aux entiers naturels il n'y a pas de problème car la fonction est un polynôme défini sur R

[gg0]

Bonjour Mathiop.

Pour pouvoir répondre à tes question, il faudrait que tu nous définisses ce que tu appelles , car tu sembles vouloir travailler avec. Encore faut-il que tu saches de quoi tu parles (une écriture n'a pas nécessairement un sens).

Quant à ta remarque sur ce que fait ta calculatrice pour , ça ne dit rien sur la signification mathématique de cette expression, qui n'a pas de signification mathématique générale pour x négatif. Je suis d'ailleurs très surpris que tu aies un domaine de définition avec une calculette. C'est quoi cette calculette magique ?

Cordialement.

[mathiop]

je veux juste savoir comment faire pour trouver le domaine de définition d'une fonction x (x est une variable) à la puissance n (n est une constante)

"Je suis d'ailleurs très surpris que tu aies un domaine de définition avec une calculette" j'ai juste regardé la table des fonctions de ma calculatrice pour voire A PEU PRES une idée de l'ensemble de définition de la fonction et pour une fonction de type x^n la calculatrice nous permet de trouver le domaine de définition de facon exacte

[mathiop]

* y est entier relatif (c'est la définition de puissance qu'on voit en quatrième), et dans ce cas pour tout x réel (même négatif!) quand y>0 et réel non nul sinon.

je ne comprends pas cette phrase

[gg0]

Il y a des définitions contradictoires des puissances non entières. Pour les nombres positifs, pas de problème. Pour les négatifs, pas de problème pour les puissances entières. Mais déjà, on peut voir un problème pour les puissances rationnelles.
On peut définir en posant ou bien ce qui ne donne pas la même chose dans certains cas :
mais n'existe pas !
Et d'ailleurs, en simplifiant la fraction, on obtient
qui n'existe pas.

Donc on n'a pas de bonne définition des puissances rationnelles des réels négatifs, et même les mauvaises donnent des impossibilités d'appliquer les règles habituelles. Alors quand on passe aux puissances irrationnelles ... ce qui fait que ta question n'a pas de vrai sens si on ne précise pas ce qu'est n et pour n non entier, la signification de xⁿ.

Par contre, pour les nombres strictement positifs, on sait définir les puissances quelconques (avec ln et exp) de façon à conserver les règles habituelles.

Je n'ai pas trop compris ce que tu disais à propos de ta calculette, parles-tu de son fonctionnement, ou bien d'un éventuel mode d'emploi ?

Cordialement.

[mathiop]

d'accord merci beaucoup, je crois avoir compris mais que signifie la puissance 4 dans votre 1er exemple située à gauche de la racine et non au dessus à droite?
j'ai déja vu ça mais je ne vois pas à quoi ca correspond

[gg0]

C'est la racine quatrième : la racine quatrième d'un réel positif a, est le nombre positif qui élevé à la puissance 4 donne a. ici, 3x3x3x3=81.

[mathiop]

ah d'accord merci gg0



donc merci beaucoup à tout ceux qui m'ont aidé et bravo pour votre patience

à bientot tout le monde