Equation second degrés - discriminant

[fred31460]

Bonjour,

J'avais une question à propos du discriminant: Pourquoi lorsqu'on calcule le discriminant "b au carré - 4ac", cela nous donne "magiquement" les solutions de l'équation f(x)=0 ?

Et dans la forme canonique, le but c'est bien d'avoir une équation produit-nul de telle sorte à retrouver les solutions ?

Si j'ai bien compris le fait de faire apparaitre un identité remarquable etc... Je comprends moins pourquoi magiquement cela nous donne la solution (quand il y a n'a). Il y a bien un rapport entre forme canonique et équation produit-nul ?

Je vous remercie, cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Cela a sans doute été déjà expliqué par ton prof, si tu as eu un cours sur le sujet. Soient a, b et c trois nombres, a étant non nul. Alors :

Cette forme canonique se justifie facilement en développant le second membre.
On en déduit trois cas suivant les valeurs de :
1) est un carre, le carré de sa racine carrée, et
On a simplement appliqué l'identité remarquable u²-v²=(u-v)(u+v) que tu connais bien.
2)
3)
donc la parenthèse est strictement positive et ne s'annule pas

Maintenant, pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0, dans les deux premiers cas, on applique la règle du produit nul. Dans le troisième, a n'est pas nul, la parenthèse non plus, donc ax²+bx+c n'est pas nul, quel que soit x : pas de solution.

Au passage, on voit que dans le cas où il y a deux solutions (on dit aussi deux racines de ax²+bx+c), notées x' et x", éventuellement confondues (cas 2), ax²+bx+c=a(x-x')(x-x") (fais le calcul pour voir).

Cordialement.

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
ce que vous appelez "equation produit nul" c'est un truc comme ? Et non l’intérêt de la forme canonique c'est d'avoir en évidence les "coordonnées" du sommet de la parabole (dans le cas d'un trinome du second degres), j'imagine que vous vouliez parler de forme factoriser ? (ce que j'ai ecrit un peu au dessus ou là le but est de mettre en evidence les racines).

Ensuite, c'est ca qui est jolie dans les maths, c'est qu'il y a toujours moyen de trouver des relations entre des choses qui ne semblent a priori pas liés. Ici vous dire quelles relations il y a entre la forme canonique et le "produit nul" (on va dire que c'est la forme factoriser) ca semble "evident" quand on connait la démonstration qui donne les racines (les solutions) du trinome... je vais vous la refaire juste pour le plaisir en dessous x)

Accessoirement c'est avec ces relations (appelé "relation entre les racines", comme les relations de Viète) que Évariste Galois a crée la théorie qui porte aujourd'hui son nom qui explique quand est ce que le résultat d'une équation peut s’écrire avec les coefficients de cette meme equation.

Demonstration
soit l'equation en factorisant par on obtiens on fait apparaître une identité remarquable (si cette factorisation vous semble obscure, développez la, vous verrez que c'est la même formule) on vois que donc donc on sait que la racine carré admet deux solutions donc : finalement on obtiens

cela te parait un peu moins magique ?

[fred31460]

Merci pour vos explications. En faite, c'est le même système que lorsque, grâce à la factorisation, on n'amène tout cela à une équation produit-nul, mais appliquée, à un polynôme de degrés 2.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fred31460]

Merci à vous aussi "Theophrastusbombastus". En faite je voulais dire que l'on applique la propriété du produit-nul: Si dans un produit un facteur est nul, alors ce produit est nul. Cette propriété est tout simplement appliquée au polynôme de 2nd degrés. Cela nous permet de trouver les racines éventuelles.

Cordialement.

[gg0]

Ben oui !!

[fred31460]

Merci gg0.

[fred31460]

Juste, une dernière question, vu que la forme canonique est = à 0 , alors cela signifie qu'un des facteurs du produit vaut 0, mais c'est lequel ? C'est pas le "b au carré" que l'on retranche à "b carré" qui fait 0 ( et vaut qu'il est multiplié par "2a", cela fait 2a X 0)

Merci, cordialement

[theophrastusbombastus]

on est d'accord que la forme canonique c'est :
?

donc lorsqu'elle est egale a 0 ca redonne la demonstration que je vous ai mis au dessus. Sinon j'ai du mal a visualiser de quel forme vous parlez

[fred31460]

Merci à vous theophrastusbombastus, mais c'est lequel facteur qui est égale à 0 dans la démonstration ? J'ai du mal à le visualiser.

Cordialement

[fred31460]

En faite, pour comprendre la formule, la première étape est que je dois repérer les facteurs, donc si je ne me trompe pas, dans la forme canonique on n'a un produit de deux facteurs, la 1er étant "a" est le second tout le reste de l'expression (sachant que l'on n'a deux fois le x + b/(2a) vu qu'il est au carré, donc cela fait 3 facteurs.

Donc la propriété dit qu'un produit est nul si l'un des facteurs est nul, j'ai juste jusque là ?

Merci.

[gg0]

Sous la forme du message #9, comme ce n'est pas a qui est nul, ce qui est nul est le crochet. Ensuite, il faut le factoriser; ce qui n'est pas toujours possible.
Sous la forme que j'ai écrite au message #2, le cas 1 est déjà factorisé, et a étant non nul, c'est l'un ou l'autre des deux facteurs qui peut être nul, ce qui donne bien les deux solutions. Le cas 2 se traite de la même façons, mais les deux facteurs (un carré est un produit : a²=a a) sont égaux. Il y a donc une seule solution (dite double parce qu'elle annule deux facteurs).
Et pour le cas 3, le crochet est non nul, donc il n'y a pas de solution.

Cordialement.

[gg0]

En faite, pour comprendre la formule, la première étape est que je dois repérer les facteurs, donc si je ne me trompe pas, dans la forme canonique on n'a un produit de deux facteurs, la 1er étant "a" et le second tout le reste de l'expression.

Oui, ce qui fait que ce que tu écris ensuite :
" (sachant que l'on n'a deux fois le x + b/(2a) vu qu'il est au carré, donc cela fait 3 facteurs."
n'a pas de sens. Sauf dans un cas (delta=0) ce n'est pas un facteur, puisqu'il est dans une somme. Il n'y a de facteur que dans un produit.

[gg0]

Je commence à penser que tu n'as pas lu mon message #2 ...

[fred31460]

Merci pour vos explications gg0, je commence à comprendre . Juste, dans l'expression de la forme canonique, pourriez vous me repérer les facteurs ? Cela va beaucoup mieux m'aider par la suite.

Merci

[gg0]

Ben ... regarde quel produit c'est ! Il n'y a qu'une multiplication globale entre le a et le crochet. Donc les facteurs sont a et le crochet.
Mais ça n'est pas très utile ...

Mais la règle du produit nul n'a d'intérêt que si on peut factoriser. Or parfois ce n'est pas possible.

Par exemple l'équation x²+1=0 ne nécessite aucune factorisation (*) : quel que soit x, x²+1 dépasse 1 donc ne peut pas être égal à 0; pas de solution.

Cordialement.

(*) il n'y en a d'ailleurs pas.

[fred31460]

Merci pour vos réponses. En faite, pour le produit nul de la forme canonique, il me faut un exemple de type "seconde" avec une expression ou on doit trouver la valeur de "x" pour que cela soit = à 0, pour faire le comparatif avec la forme canonique, parce que je n'arrive pas à visualiser ce qu'il se passe et faire le lien entre ce que l'on voit en 3ème/seconde et la forme canonique.

Merci à vous.

[gg0]

Ok.

Sais-tu résoudre (x+2)(x-b)=0 (inconnue x) ?
Car on ne fait rien de plus en seconde que ce qu'on fait en troisième, la règle est la même.

[fred31460]

Alors (x+2)(x-b)=0

x+2=0 x-b=0
x=-2 x= b

Donc les solutions sont: -2 et b

[ansset]

..... pour faire le comparatif avec la forme canonique, parce que je n'arrive pas à visualiser ce qu'il se passe et faire le lien entre ce que l'on voit en 3ème/seconde et la forme canonique.

une écriture sous la forme canonique n'a pas forcement un équivalent de la forme (x-x1)(x-x2)=0
c'est évident car sinon tous les polynôme du second degré aurait une ou deux solutions

on est d'accord que la forme canonique c'est :
?

en supposant a non nul ( sinon ce n'est plus un polynôme du 2nd degré.
cela revient à
((x+A)²-B)=0 ,
avec


soit
(x+A)²=B , qui n'a de solution que si B est positif ou nul. ( on retrouve le signe du discriminant )
dans ce cas , la ou les racines sont
x1=-A+rac(B)
x2=-A-rac(B)

[gg0]

Fred31460,

Il ne te reste plus qu'à utiliser la forme canonique pour résoudre :
2x²+6x-1 = 0
3x²+x+8 = 0
Et voir sur des exemples ce qu dit la théorie générale (je te l'avais rappelée à mon tout premier message).

[fred31460]

Ansset, si on n'a un polynôme de type: 2x au carré + 12x + 8, on va avoir donc A= 12/(2X2)=3 et B= 12X12-4X2X8/(4X2X2)=-5

Donc, (x + 3) au carré - 5)=0. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul, donc là, il y a bien un facteur qui est nul, mais je ne vois pas le rapport.

Inutile de continuer à vous embêtez, les maths ce n'est par moi. Je ne vois pas le rapport avec l'équation de gg0.

[fred31460]

Inutile de vous embêtez, je ne vois pas le rapport avec le produit nul. Je sais appliquer la formule mais je ne la comprends pas, alors cela sert à rien d'appliquer bêtement. Je vois pas le rapport avec l'équation de gg0.

Merci pour votre aide.

[gg0]

Fred,

je ne comprends rien à ce que tu racontes.
je te proposais d'utiliser la forme canonique, tu ne l'as pas fait.

Bon, si je comprends bien, tu ne veux plus comprendre. Alors ciao !

[ansset]

Ansset, si on n'a un polynôme de type: 2x au carré + 12x + 8, on va avoir donc A= 12/(2X2)=3 et B= 12X12-4X2X8/(4X2X2)=-5

Donc, (x + 3) au carré - 5)=0. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul, donc là, il y a bien un facteur qui est nul, mais je ne vois pas le rapport.
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dans l'écriture sous forme canonique, on ne cherche pas le facteur nul qui annulerait le produit.
on fait apparaitre une équation du type :
(x+A)²-B=0
qui n'a de solution que si B est >=0
dans ce cas on retrouve les racines x1 et x2 et le polynôme peut donc s'écrire
P(x)=a(x-x1)(x-x2)

gg0 t'a montré ( essayé ) deux exemples avec des chiffres.
en te proposant de passer par l écriture sous forme canonique...

[fred31460]

Je pensais qu'on cherchait le facteur nul. Alors c'est ou qu'on cherche le facteur nul ? Désolé si je m'emporte, c'est juste que je ne comprends rien du tout à la logique. La formule j'ai compris, mais la logique derrière je ne la comprends pas. Je pensais que le facteur qui annulait le produit était la solution de l'équation.

[ansset]

Je pensais qu'on cherchait le facteur nul.

ben non, ce n'est pas la démarche en passant par la forme canonique.
c'est peut être cette incompréhension qui te donne l'impression de tourner en rond.
mais si tu as compris comment passer à la forme canonique et qu'en déduire, alors c'est le principal.

[ansset]

et pour revenir à ta première question:
le fameux discriminant "magique" vient de là.
le signe du Delta correspond au signe du B dans l équation.
lla formulation des racines vient aussi de la même équation, ce que tu peux vérifier

[fred31460]

Je vais essayer dans l'autre sens pour comprendre la logique. Si je prends comme solution de l'équation x= -b+ racine de b carré -4ac/(2a), c'est une division, donc x multiplié par 2a donne le numérateur. C'est le même système que l'équation produit nul ?

[ansset]

oui, les solutions sont bien sur les mêmes.
qu'appelles tu l'équation "produit nul".?
si x1=(-b+rac(b²-4ac))/2a
et x2=(-b-rac(b²-4ac))/2a
alors ces racines satisfont bien à la fois l'équation sous forme canonique décrite plus haut
et aussi
P(x)=a(x-x1)(x-x2)