Suite

[tealc29]

Bonsoir, voici un exercice


On définit la suite : {Uo=1/2 et pour tout n appartient à N, Un+1= (n^2+2n+1)/(2(n+1)^2+1Un)}

On note K=(n^2+2n+1)/(2(n+1)^2+1Un)

a) Montrer que 0< Un+1<1/2 Un

Ici je ne sais pas comment faire car si l'on multiplie par K des deux côtés cela ne peut fonctionner car K est croissante puis décroissante d'où une inversion des inégalités ?

b)Montrer que 0<Un<(1/2^(n+1))

Je pense le faire par récurrence : je ne marque que les grandes lignes ici

0<Un<[1/2^(n+1)]
K*0<Un*K<K*[1/2^(n+1)]

Or K<1/2 (limite de K) soit :
0<Un=1<K*1/[2^(n+1)]<(1/2)*[1/2^(n+1)]
0<Un+1<[1/2^(n+2)] cqfd


Cependant cette hérédité me semble bancal vu que K est croissant/décroissant et que l'on multiplie justement par celui-ci
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[tealc29]

Je rajoute quelque chose que j'avais totalement oublié

Pour K on travaille sur N, or K est strictement croissant sur N donc cela ne poserait à priori plus de problème.
==>question a) on effectue une récurrence en montrant 0<Un+2<1/2 * Un+1 en multipliant lors de l'hérédité tout par K sans changer le sens ??

Qu'en pensez vous ?

[tealc29]

UP svp j'ai besoind de savoir si l'idée est bonne

Merci bcp

[Kairn]

Bonsoir !

Ne t'es-tu pas trompé en recopiant l'énoncé ? Avec , on a .
Je ne vois de plus pas l'intérêt de noter , d'autant plus qu'on devrait alors écrire .


Au risque d'interpréter, ne voulais-tu pas dire avec ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[tealc29]

En effet Kairn c'est bien cela je me suis trompé : K représente le gros quotient sans Un

Cependant j'ai fait mes calculs avec le bon K.

Merci

[ansset]

il suffit de montrer que K<1/2 car la première inégalité est évidente.
or k<1/2 est équivalent à


il n'y a pas de soucis, si ?

[ansset]

ou alors c'est pour la question b) le soucis. ?

[Kairn]

D'accord

Alors :

a) Il est assez évident que la suite est positive donc (une récurrence immédiate le prouve si tu n'en es pas convaincu, étant positif).
Pour la deuxième partie de l'inégalité, il suffit de montrer que (d'ailleurs tu utilises ceci dans la question b).

b) Sans oublier l'initialisation, ta récurrence est juste (et pas bancale).


Je voudrais finir mon message par une remarque : il n'y a pas de lien entre la croissance ou non de K et les résultats qu'on te demande : on utilise le fait qu'il soit coincé entre 0 et 1/2, c'est tout. De plus, le fait que K soit (dé)croissante ne change pas les inégalités quand on multiplie : c'est le signe qui compte, pas les variations. Ici, K est positif donc on a pas de soucis.

[ansset]

Cependant cette hérédité me semble bancal vu que K est croissant/décroissant et que l'on multiplie justement par celui-ci

il n'y a rien de bancal , tu multiplies par un chiffre >0
donc si
0<Un < a
0<Kun<Ka<(1/2)a ( avec K>0)
ta démo est bonne, par contre il y a un ptit bug dans l'écriture ( un crochet mal placé )

Edit: croisement.

[tealc29]

OK merci pour vos réponses et pour la précision avec la croissance/décroissance j'étais en trains de confondre : en fait c'est si par exemple on applique une fonction sur les membres de l'inégalité alors il faut changer le sens (fonction décroissante) mais ce n'étais pas le cas ici de toute manière !

Un dernier petit point, pour la question a) : pour montrer que Un+1<1/2 Un on peut une également faire récurrence, on est d'accord ? (même si bien sur ce n'est pas utile vu qu'on a Un+1=KUn et comme K<1/2 alors KUn<1/2 Un) => récurrence inutile/perte de temps ?



Merci

[ansset]

oui récurrence inutile : prendre une masse pour enfoncer une punaise .......