Probabilité d'une coïncidence (suite)

[TCHOUCKY]

Bonjour à tous,

Prenonons un exemple!
Les misérables comptent 743 pages.
Une page contient en moyenne 250 mots donc 743x250=185750 mots.
Un adulte moyen lit 300 mots par minutes, mais pour simplifier on dit 60 mots par minutes.
Il mettra donc 185750 secondes pour lire ce livre (un mot par seconde).
Le livre contient 120 fois le mot "femme".
Considérons deux personnes qui lisent ce livre à voix haute, en même temps et à la même cadence, mais n'ayant pas commencé à la même heure.
Quelle est la probabilité (ou le pourcentage...?) que le mot "femme" soit dit en même temps ?
S'il vous plait dans un calcul simple car je ne suis pas du tout mathématicien!
Merci à tous d'avance.

Tchoucky
-----

[danyvio]

Il manque une indication sur la répartition du mot "femme" (régulière, aléatoire,..). La proba de rencontre est fortement impactée par l'écart du début de lecture des deux personnes (si la 2ème personne commence à lire alors que la première est pratiquement à la fin, la proba tend vers 0)
Ceci dit c'est marrant comme problème...

[TCHOUCKY]

Oui, bonjour,
le mot "femme" est aléatoire. C'est à dire qu'en fait l'essentiel est de dire tous les mots des Misérables et finalement peu importe dans quel ordre. Le but étant de savoir qu'elle est la probabilité d'une rencontre de ces deux mots dans un univers de 185750 mots ne contenant que 120 fois le mot "femme" prononcés par deux personnes aléatoirement.
C'est difficile de prendre cette exemple. On pourrait aussi prendre deux spères contenant 185750 boules noires chacune et chacune aurait 120 boules blanches. Chaque seconde une boule tomberait de chaque sphère. Combien de temps s'écoulerait en moyenne pour que deux boules blanches tombent en même temps ? Même si l'opération consiste à ajouter autant de sphères qu'il faut pour arriver à un résultat.
Merci de votre aide.
Tchoucky

[mike.p]

Salut,

certains écarts initiaux ne permettraient aucune coincidence. A la même vitesse de lecture, l'écart des débuts et la disposition des mots deviennent les paramètres déterminants.

La durée de prononciation pourrait aussi compter. Superposer partiellement 2 "ni" ou 2 "anticonstitutionnellement " n'est pas pareil

Après avoir supposé pour un premier calcul que les écarts s'expriment par des durées entières et que les mots durent tous une seconde, il faudrait indexer toutes les occurences et noter que leurs différences deviennent des valeurs d'écarts initiaux pouvant conduire à au moins une coincidence. La répétition d'une valeur d'écart pourrait conduire à plus de coincidences. La présence d'improbables cycles d'écarts les favoriserait.

Il faudrait aussi disposer de la plage des écarts initiaux possibles ( et de tout autre paramètre aléatoire ) et faire quelques suppositions supplémentaires pour calculer une probabilité particulière.

Auriez vous des données plus précises ?

ps : j'ai validé tardivement avant de lire votre dernier message

[A voir en vidéo sur Futura]

[mike.p]

avec votre dernière descripton, qui est un peu différente, vous pouvez considérer qu'il y a 120 cibles gagnantes et 120 fléchettes qui peuvent atteindre 185750 valeurs. Ou c'est comme si vous achetiez 120 billets d'une loterie offrant 120 lots parmi 185750 tickets.

[zenxbear]

On pourrait aussi prendre deux spères contenant 185750 boules noires chacune et chacune aurait 120 boules blanches. Chaque seconde une boule tomberait de chaque sphère. Combien de temps s'écoulerait en moyenne pour que deux boules blanches tombent en même temps ? Même si l'opération consiste à ajouter autant de sphères qu'il faut pour arriver à un résultat.

ca veut dire quoi "ajouter autant de sphères"? Et jamais 2 boules tombent em même temps au bout des 185750 tirages, est ce que le temps écoulé vaut 0 ou vaut 185750s?

En tout cas, dans ce cas on peut sortir une formule.

la probabilité qu'aucune boules blanche ne tombe en même temps:



la probablité que les boules blanches tombent en même temps à l'instant j uniquement:



la probabilité que les boules blanches tombent en même temps aux instants i et j uniquement, i différent de j



la formule est pour le cas ou les boules blanchent tombent en même temps aux instants $i_1<....<i_k$ uniquement est



Pour calculer ton espérance:









Initialement, je voulais calculer ca avec sagemath, et la comparer les termes 1 à 1 avec

qui est la probabilité que les boules tombent k fois uniquement.

et bien,
et aussi


ca doit se démontrer par récurrence. donc la formule serait



ca donne


Honnêtement, je suis pas sur, je m'attendais à une probabilité que "au moins 2 boules tombent en même temps" bien plus petite que 1-0.925 = 7.5%.


Le problème initial, est différent à mon avis.

[zenxbear]

on pouvais simplifier.


et aussi


c'est mignon comme formule.

ca rend les choses encore plus compactes:

[TCHOUCKY]

Merci pour ce travail qui effectivement donne des formules "mignonnes". Le vrai problème est que j'écris souvent, on va dire que j'écris au moins 2 heures par jour hors j'ai cette (mauvaise) manie d'écouter la télévision en sourdine en même temps. Souvent des émissions scientifiques. On va dire que dans une moyenne de 2 fois par jour j'écris un mot qui est, au même moment, prononcé à la télévision. Pas des mots simples, mais des mots comme spiritualité, inoubliable, diablement, ou autres nom propres comme Hugo, Kheops, Polonaise, etc... en fait des mots un peu sortant de l'ordinaire. Je voulais savoir si c'est normal d'avoir ces coïncidences récurrentes comme ça, et si cela arrive à tout le monde! Ou si c'est inhabituel et là, je voudrais bien connaître la probabilité d'une telle récurrence. Merci encore.
Tchoucky

[zenxbear]

faut reformuler ton problème pour qu'il soit bien posé et calculable.

Remarque: les calculs précédents reposent sur le fait que je considère les occurrences du mots femmes distinguables. Comme dans l'experience du jet de 2 pièces de monnaie ou on dit que la probabilité d'avoir "pile et face" vaut 1/2, et non 1/3.
======================

pour le problème initial, si je note n=185750, m=120, et d le déphasage. Je pose . Le tirage "aléatoire" du roman est le même pour les 2 personnes qui lisent. En gros on fait un aléatoire, qui est maintenant lu par les 2 avec un certain décalage.

Je trouve comme probabilité de "ne jamais prononcer femme ensemble":


ceci est en effet

ca a l'air bourrin comme formule. trop lourdes pour un pc avec tes données. du coup on approxime avec quand , ce qui est le cas ici car alpha et beta sont inférieurs à 120 et n-ad et ad-alph est de l'ordre de la moitié de 185750.


bien plus légère à calculer. Le graphe donne en fonction du décalage d:

sage: n=185750
sage: m=120
sage: d= var('d')
sage: i=var('i')
sage: def f(z) : return sum( (n-floor(floor(n/z)/2)*z)^i *( floor(floor(n/z)/2)*z-i)^(m-i)/(factorial(i)*factorial(m-i)) , i, 0 , m)/binomial(n,m)
sage: f(1)+0.0
0.999995927594497
sage: v = [ (z, f(z) ) for z in [1,50,..,185750]]
sage: show(points(v, rgbcolor=(0.2,0.6, 0.1), pointsize=1) )
Note que P(0)=1.

quand même. Je pense que ces probas sont sous estimées. Je m'attendais à bien plus. Je ne sais pas pourquoi un plateau se forme. à vérifier.

[zenxbear]

pour démontrer
la récurrence marche très bien, tu vérifies que qui est la même relation de récurrence que celle des coefficient binomiaux. Puis que et et conclus.

au passage on a bien:

[TCHOUCKY]

Bonjour, pouvez vous me donner en gros le nombre de chances (en chiffre) qu'un tel évènement ce produise. Merci de votre obligeance.
Tchoucky

[zenxbear]

la formule d'approximation n'est pas valable pour des décalages assez grand. du coup ce graphe ne marche plus. Je dirait donc que pour les décalages de l'ordre de quelques centaines, la proba de prononcer le mot em même temps est < 0.5%, si tu regardes le graphe!

[LucyXX]

Alors je fait un intervention pas du tout mathématique mais j'ai juste une petite hypothèse explicative de pourquoi il t'arrive d'écrire un mot dit à la télévision.
Je sais pas si ça arrive à tout le monde mais en général quand je regarde une émission régulièrement au bout d'un certain temps je "devine" les mots qui seront dit par le présentateur par exemple et sans réellement le vouloir je les intègre a une phrase.
Du coup je pense que si tu regarde souvent les mêmes émissions, il y a des chances que ça augmente la probabilité de dire les mêmes mot que la télé ^^

Lucy

[mike.p]

Salut,

Le cas initial était le plus compliqué car il aurait fallu classer les distributions en général par des caractéristiques sur les écarts, un travail à priori délicat. La part laissée aux probabilités aurait été faible.

Mais après simplification, c'est effectivement plus simple.
Essayons de rester multiplicatifs le plus longtemps possible, en calculant la probabilité complémentaire.

Pour n mots en tout dont k ciblés, à chaque évènement atomique , cad la prononciation simultanée de 2 mots du texte, il y a une probabilité de non-coincidence sur la cible de 1-(k/n)².

Après p tentatives, la probabilité de ne pas avoir de coincidence est de (1-(k/n)²) ^p , une valeur qui tend vers 0 quand p grandit puisque 0 < (1-(k/n)²) < 1 . On peut alors tenter de résoudre l'équation en p de (1-(k/n)²) ^p = ( 1 - 0.5 ), qui indiquera au bout de combien de tentatives , on aura au moins une chance sur 2 d'obtenir au moins une coincidence.

(1-(k/n)²) ^p = 0.5 avec n = 185750 et k = 120 donne p =~ 1,660,810 tentatives ou secondes.

Pour un objectif de 75% de chances, (1-(k/n)²) ^p = ( 1 - 0.75 ) donne p =~ 3,321,620 tentatives.

Pour 99% de chances, (1-(k/n)²) ^p = ( 1 - 0.99 ) , p =~ 11,034,200 tentatives.

Pour 100% de chances, il faut attendre une infinité de temps.

Mais c'est une simplification, la probabilité de l'évènement modélisé ici ne correspond pas au problème initial.

[mike.p]

Retour au problème initial.

Un auteur en mal de notoriété décide d'écrire un bouquin avec le mot femme disposé 120 fois de telle sorte de maximiser ses chances d'entrer au guiness des records pour le sujet traité dans le fil "Probabilité d'une coïncidence (suite)" sur FS.

Comment doit il les espacer pour arriver à maximiser la probabilité de coincidence au moins une fois sachant que l'écart initial ( des débuts de lectures ) possible va de 1 au nombre de mots du bouquin -1 ( et en supposant que le livre n'est lu qu'une seule fois par les 2 lecteurs ) ?