Démontrer que lim (Un)=-2 avec Uo=4 et Un+1=(2/Un)-1

[DrShiva973]

Bonjour,
Tout est dans le titre. Je reprends des études de mathématiques et n'arrive pas à démontrer la limite de cette suite.
J'ai tracé le graphique de la fonction f(x)=(2/x)-1 ainsi que la droite d'équation y=x pour représenter l'évolution de la suite.
On voit qu'à part U0=4, la suite (dès U1=-5) converge vers la valeur -2 ( en s'enroulant ).

Même si cela ne me convient pas en tant que démonstration, Voilà ce que j'ai écris :

Si lim Un = L ( avec L=-2 ) alors lim ( Un - L ) = 0,
de plus, si lim Un = L alors lim Un+1 = L.
Si lim ( Un+1 - L ) = 0 alors lim ( 2/Un - 1 - ( -2 ) ) = 0 soit lim ( 2/Un + 1 ) = 0 et cela est vrai si et seulement si lim ( 2 / Un ) = -1,
c'est-à-dire si lim Un = -2.

Merci de m'éclairer sur la marche à suivre pour démontrer cette proposition ( lim Un = -2 ).

Je bloque !

P.S.: sur mon graphique je constate que -5 <= Un <= 4
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[mike.p]

Salut,

que vient faire ici f(x)=(2/x)-1 ?

il vaudrait mieux transformer la récurrence en formulation directe, après quoi la limite sera facile à établir.
Calculez les 1ers éléments , la forme générale apparaitra vite et ce ne devrait pas être difficile de montrer que c'est la bonne.

[gg0]

Bonjour DrShiva973.

En complément de l'excellente remarque de Mike.p, une idée qui resservira plus tard :
Comme tu le fais, en supposant qu'il y a une limite L, la récurrence et la continuité de f permettent de passer à la limite et d'écrire L=f(L), ce qui donne deux valeurs possibles L=1 et L=-2.
Donc la situation est plus compliquée que ce que tu as écrit.
Complication supplémentaire : Pour de nombreuses valeurs initiales, la suite n'est pas définie (essaie par exemple U₀=2), donc il y a des conditions à respecter. Cependant, on peut facilement voir que si u_n<0, alors u_n+1<0.

Comme je ne sais pas quels sont tes connaissances, je n'irai pas plus loin. Mais dans un cours du supérieur sur ce sujet, on voit pas mal de méthodes.

Cordialement.

[DrShiva973]

Bonjour G00 et Mike.p,

Merci pour vos réponses.

G00, mes connaissances sont pour l'instant limitées à celles du lycée. Me voilà donc un peu plus rassuré quant au fait de pas réussir à démontrer la limite dans les règles de l'art.

Mike.p , je n'arrive pas à exprimer Un en fonction de n.

U0=4 ; U1=-1/2 ; U2=-5/1 ; U3=-7/5 ; U4=-17/7 ; U5=-31/17 ; U6=-65/31 ; U7=-127/65

Je remarque juste que chaque terme a pour dénominateur le numérateur du terme précédent ( sauf U1 ) et
que chaque terme a pour numérateur : un coup la somme des numérateurs des termes précédents +1 et le coup suivant la somme des numérateurs des termes précédents - 2.

Avec ça je devrais m'en sortir.

Merci encore de votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

on peut analyser cette suite ( effectivement pas si simple ) en la décomposant en deux sous suites.
celle des n pairs et celle des impairs à partir du rang 1.
on peut montrer qu'à partir de ce rang ( n>0 ):
-
faire
et montrer que

et aussi que
(*)
donc cette sous suite est croissante et majorée par -2
( c'est le cas pour la sous suite des nombres pairs avec )
elle est donc convergente.

On montre la réciproque de manière équivalente pour la sous suite des n impairs.
décroissante et minorée par -2 avec

chacune étant convergente, on peut appliquer l=2/l-1 qui donne l=-2

(*) il y a un petit polynôme au numérateur.

[mike.p]

Bonjour,

comme le fait remarquer Ansset, vous n'avez pas reconnu l'alternance des et aux numérateurs et dénominateurs ( dans cette formulation ). Il faudra toujours reconnaitre la suite 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 etc

[ansset]

je ne comprend pas ta remarque.
d'où viennent les ?
la décomposition que je propose suggère de regarder séparément les sous suite selon la parité de n.

[DrShiva973]

Yesss !!!

Une bonne étape, on peut exprimer Un en fonction de n ( reste à le démontrer par récurrence ). Merci Mike.p.

Effectivement je n'avais pas remarqué les puissances de 2.

On peut écrire :



Ce qui est génial est que cette formule semble juste dès n=0.

Reste à démontrer, je m'y attelle.

[zenxbear]

Démontrer la convergence est généralement faite de manière artisanale. c'est assez compliqué souvent de deviner une expression littérale de ta suite .

A partir du moment ou ta méthode graphique t'indique une convergence vers -2. Mon réflexe immédiat est de regarder la suite .

Ainsi immédiatement je trouve une une majoration et une majoration du membre de gauche par 5/7 en remarquant u_n est plus petit que -7/5 dès que n>3. Ce qui te donne et ca converge vers 0, donc u_n vers -2.

Dans ce cas aussi, tu peux être attentif, et écrire la relation de récurrence vérifiée par , elle est de la forme . Ce qui implique que la suite est arithmétiquo-géométrique, et tu peux la calculer explicitement, et retrouver .

Le point est que tu n'as pas à avoir à deviner l'expression, mais de procéder logiquement.

[ansset]

@mike:
désolé, je n'avais pas vu l'astuce en première lecture.
très malin....
Cdt

[DrShiva973]

Bonjour,

Voici ma "démonstration" pour affirmer que




Soit la proposition vérifiant

Démontrons par récurrence que est vraie pour tout entier naturel .

• Initialisation :
  
  Pour on a : or on a par définition : donc est vraie.
  
  
  
• Hérédité :
  
  On suppose que est vraie pour un certain entier , c'est-à-dire :
  
  
  
  On en déduit :
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Soit au final :
  
  
  
  
  et sont identiques, on en déduit selon le raisonnement par récurrence que est vraie pour tout entier naturel et par conséquent que :
  
  
  
  

Reste maintenant à démontrer la limite ...

[gg0]

Bonjour.

Pour la limite, tu peux diviser haut et bas par 2^n.

Cordialement.

[DrShiva973]

Merci GG0,

En effet, on a :



soit en divisant le numérateur et le dénominateur par :



Ainsi :



Or :



donc :





Youpi !

La limite de la suite Un est démontrée ( avec les outils du lycée ).

Merci à tous pour votre aide.

[gg0]

Ton calcul est bizarre ! et manifestement faux, quand 2^n devient 2^(n+1).

Mais mon indication était malsaine, il valait mieux diviser par 2^(n-1).

[DrShiva973]

Effectivement une coquille s'est glissée :





Donc :



Soit :





GG0,

Pourquoi trouvez-vous que mon calcul est bizarre ?

En divisant le numérateur et le dénominateur par on obtient un résultat satisfaisant, non ?

Merci de vos conseils.

[gg0]

Oui,

maintenant, le calcul est correct. Celui du message #13 est faux, même s'il donne le bon résultat.

[ansset]

re-
ce qui est intéressant dans cet exercice, c'est qu'on a vu 3 ( je crois) résolutions différentes.
chacune partant de l'observation des premiers termes, pour en tirer une conjecture, démontrée ensuite.
ce que je dit est très simpliste, mais significatif de beaucoup de méthodes de résolution en général.
à l'opposé de la recherche d'une recette apprise et qui s'appliquerait un peu "par cœur" selon les cas.