Entraînement aux olympiades des mathématiques

[Grey76]

Bonjour, je m'appelle Grey et je suis nouveau sur ce forum. Je poste ce message en vue de fournir aux jeunes, désirant s'avancer, s'entraîner ou bien s'amuser en mathématiques, des exercices que I'on retrouve dans les annales de concours (souvent sans explications).

J'invite donc tous les matheux à venir poster les énoncés mathématiques des olympiades (mini-midi-maxi).

Remarque : pour chaque énoncé, pour une meilleure organisation, veuillez mettre en début de chaque message la catégorie (mini-midi-maxi). Ensuite, si ce topic a de la popularité, je propose aux modérateurs de le mettre en lien-priorité en début du forum.

Enjoy !
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[Grey76]

Maxi

Je vais commencer

Soit f une fonction de R dans R tel que pour tout réel a et b, on a : f(ab)=f(a)-f(b). Que vaut f(2009) ?

[Médiat]

Bonjour,

C'est vraiment un sujet d'Olympiades ? Et maxi en plus ?

[ansset]

@grey:
-des exercices d'olympiades sont souvent postés ici, sans qu'il soit besoin de créer un fil pour les réunir.
-suggérer de mettre une priorité renvoyant sur ton fil est d'abord improductif ( mélanges de sujets/exercices ) et un peu prétentieux, non ?
- ton exercice en exemple est trivial.
Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Grey76]

Bonjour, j'ai créé cet intitulé pour rassembler les solutions des concours.

Pour ce qui est du problème, je te propose de le résoudre en développant (sinon cela n'a aucun intérêt).

[Médiat]

Pour ce qui est du problème, je te propose de le résoudre en développant (sinon cela n'a aucun intérêt).

Il n'y a rien a développer, c'est trivial !

[gg0]

a=b=0 : f(0)=0
a=0 b=x : 0=f(x)
Donc f est la fonction nulle.

Un exercice sans intérêt.

[Grey76]

Bonsoir, comment savoir que a=b=0 ? (Est ce que tu voulais dire "si a=b=0 ?")
En développant, je sais que f(ab)=f(a)*f(b)=f(a)-f(b). Que faire après ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

... En développant, je sais que f(ab)=f(a)*f(b)=f(a)-f(b)...

D'où tires-tu ce qui est en gras ci-dessus ?

Duke.

[Grey76]

Ah, j'ai lu ça dans un cours sur les opérations sur les fonctions ... ce n'est pas toujours vrai ?
http://www.alloprof.qc.ca/BV/pages/m1112.aspx

[Tryss2]

ça n'est pas du tout la même chose que

[gg0]

comment savoir que a=b=0 ?

" pour tout réel a et b, on a : f(ab)=f(a)-f(b)." donc pour des valeurs particulières de a et b, on a l'égalité. Ce n'est pas trop difficile de pense à 0 comme valeur particulière ....
Donc on n'a pas à "savoir que a=b=0", on n'a rien à savoir, on a juste à comprendre l'énoncé et agir intelligemment.

j'ai lu ça dans un cours sur les opérations sur les fonctions ... ce n'est pas toujours vrai ?

Sans lire le document, je parie que tu confonds f(ab) et (f*g)(x)
[édit paris gagné ! et sans avoir lu le message précédent]

Cordialement.

[gg0]

Finalement,

j'ai bien l'impression que tu cherches surtout à ce qu'on résolve pour toi les exercices ...
As-tu lu http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html ?

[Grey76]

Ce n'est qu'une impression, comme je pressens que tu fais le malin. Sinon, merci pour la réponse, est ce que quelque à un site pourcentage genre de formule ? Car sur le site que j'ai mis, apparemment les formules sont pas bonnes, ou je ne comprends pas

[Grey76]

*pourcentage= pour ce

[ansset]

Ce n'est qu'une impression, comme je pressens que tu fais le malin. Sinon, merci pour la réponse, est ce que quelque à un site pourcentage genre de formule ? Car sur le site que j'ai mis, apparemment les formules sont pas bonnes, ou je ne comprends pas

bonjour,
je ne comprend pas, de quel site parles tu ? et de quelle type de formule ?
Cdt

[erik]

Car sur le site que j'ai mis, apparemment les formules sont pas bonnes, ou je ne comprends pas

Le site que tu as indiqué ( http://www.alloprof.qc.ca/BV/pages/m1112.aspx ) est très bien, c'est toi qui ne comprend pas, et Tryss t'as donné la source de ton erreur :

ça n'est pas du tout la même chose que

[ansset]

désolé erik et Grey, pas vu le lien.

[Grey76]

Effectivement, je viens de comprendre l'erreur , merci ^^
Et pour mon problème, je ne comprends pas comment savoir que c'est une fonction nulle. En reprenant les calculs précédents, tu supposés que a et bot nuls mais comment savoir qu'ils sont nuls.

[Grey76]

a et b* (désolé, correction automatique ...)

[ansset]

l'énoncé dit que pour tout a et b réels : f(ab)=f(a)+f(b)
donc en particulier pour a et/ou b nuls.
si a et b sont nul alors:
f(0)=f(0)+f(0) => f(0)=0
si a est nul et pour tout x non nul :
f(x)=f(x)+0=f(x)+f(0)=f(x*0)=f (0)=0
donc f est la fonction nulle.

[Médiat]

Bonjour,

Réponse donnée par gg0 au message #12

[Médiat]

Bonjour,

l'énoncé dit que pour tout a et b réels : f(ab)=f(a)+f(b)
donc en particulier pour a et/ou b nuls.
si a et b sont nul alors:
f(0)=f(0)+f(0) => f(0)=0
si a est nul et pour tout x non nul :
f(x)=f(x)+0=f(x)+f(0)=f(x*0)=f (0)=0
donc f est la fonction nulle.

Ce n'est pas l'énoncé .

[erik]

L' énoncé dit :

Soit f une fonction de R dans R tel que pour tout réel a et b, on a : f(ab)=f(a)-f(b). Que vaut f(2009) ?

La relation doit être vérifiée pour n'importe quelle valeur réelle de a et b.

On peut choisir a et b comme on veut pour tenter de voir comment se comporte la fonction f.
Par exemple :

Je choisis a=11 et b=37,125 et j'ai donc
f(11*37.125)=f(11)-f(37.125) bon c'est pas un choix de valeurs qui nous renseigne beaucoup sur f, essayons d'autres valeurs

Je choisis a=1 et b n'importe quel réel on a donc
f(1*b)=f(b)=f(1)-f(b) donc 2f(b)=f(1) là c'est plus intéressant on apprend que quelle que soit la valeur de b f(b)=f(1)/2 donc la fonction f est une fonction constante.

Je te laisse essayer les valeurs a=0 et b=0 (ou a= n'importe quel réel et b=1 ou ce que tu veux) voir ce que tu peux en déduire.

[Médiat]

Le plus simple, en une ligne, est quand même, pour tout x : f(0*x) = f(0) = f(0) - f(x) ==> f(x) = 0



PS : Je ne répondais pas à erik dont la démarche est plus pédagogique.

[gg0]

Grey76, j'ai passé l'âge de faire le malin ...

Et je n'ai plus grand chose à prouver.

[ansset]

@médiat: désolé pour le signe

[minushabens]

plus compliqué:

f(1) = f(1*1) = f(1) - f(1) = 0

et ensuite, quel que soit x

f(x) = f(1*x) = f(1) - f(x) = -f(x) d'où 2*f(x)=0 et f(x)=0

edit: je n'avais pas vu qu'Erik donnait la même preuve...

[Grey76]

Merci, vos explications sont très claires !

PS : maintenant que ce problème est résolu, n'hésitez pas à poster un énonce dans ce topic

[Grey76]

Slt, j'ai encore un problème : soit x, y, z des naturels différents de 0 . Résoudre x^2z + y^(z+1) = 24