Galère probabilité

[invite677af9fb]

Bonjour,

Je me prends la tête sur un exercice, j'espère pouvoir obtenir un peu d'aide...
Voici l'énoncé :

On considère une population de chênes, dans un massif forestier, dont 40% des individus sont gélifs.
On considère un échantillon simple de 900 arbres.
On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de gélifs de cet échantillon.

1. déterminer la loi de probabilité de la variable X. Justifier la réponse.
2. calciler l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de la variable aléatoire X.

Il y a ensuite deux autres questions mais q'à priori je saurais faire.
Ce que je ne comprends pas c'est comment déterminer la loi de probabilité, en fait je ne comprends pas ce qu'on demande exactement (oui, je ne suis pas du tout matheux...), et comment on trouve l'écart type.
L'espérance, ça va, 40% de 900 arbres, donc 360.

Merci de vos lumières.
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[Kairn]

Salut !

Quand on te demande la loi de X, on te demande de déterminer la quantité P(X=k) pour tout k (k étant un entier ici compris entre 0 et 900). Dans certaines situations, on peut reconnaitre des lois "classiques" : je pense que tu connais les lois uniforme, de Bernoulli et binomiale, et les espérances et variances associées (arrête moi sinon).

Ici, on peut reconnaître une de ces lois. Pour cela, il faut examiner l'énoncé. Pose toi les questions :
- est-ce que les événements (X=2), (X=400) et (X=756) (par exemple) sont équiprobables ? Tu dois facilement pouvoir écarter une des lois pré-citées.
- si on prend un échantillon de n=1 arbre, l'arbre est gélif avec une probabilité *...mystère...*, quelle loi suit X ?
- et si on prend n>1 arbres, quelle est la nouvelle loi, dont le cas n=1 est un cas particulier ?

En espérant t'aider un peu

[invite677af9fb]

Alors, ouais, je t'arrêtes tout de suite, Je connais (c'est un grand mot) la loi binomiale et la loi normale, pas les autres
J'ai compris que vu le caractère aléatoire des paramètres, c'est de loi normale ici qu'il s'agit.
Mais je ne comprends pas comment justifier ma réponse, comment rédiger la réponse en fait.

Et ensuite c'est vraiment cet écart type qui me fait péter les plombs !
Je pense qu'il faut passer par la variance, mais je ne sais pas comment calculer la variance dans le cadre de la loi normale.

Et ça fait un moment que j'y suis

[gg0]

Ben non ! Ce n'est pas la loi Normale !

D'ailleurs ton énoncé est mal conçu, car s'il y a 1000 arbres, le nombre des gélifs sur les 900 ne peut pas dépasser 400, alors qu'on n'aura pas ce problème s'il y a 10 000 arbres. Mais on peut supposer que la forêt est très grande, que le nombre d'arbres est des dizaines de fois supérieur à 900. Dans ce cas, il est de tradition (mais ça correspond à un théorème mathématique) de considérer que pour chacun des 900 arbres, indépendamment, la probabilité qu'il soit gélif est 40%=0,4.
Je te laisse potasser tes cours pour trouver quelle est alors la loi de X, sa moyenne et sa variance.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite677af9fb]

Je ne comprends vraiment pas.
Ce n'est vraiment pas faute de potasser pourtant !
Dans mes cours de Maths, on a abordé "Corrélation et régression linéaire", "Loi Binomiale" et "Loi Normale".
Pour les deux premières, les paramètres sont dépendants les uns des autres et forment un "événement".
Ici, je n'arrive pas à comprendre quel pourrait bien être cet événement.
Et si mon énoncé ne traite ni de l'une, ni de l'autre, ni de la troisième, je ne sais vraiment vraiment pas par quel bout aborder la chose...

[invite677af9fb]

Et j'ai compris que la probabilité était de 0,4, je me suis même fait un petit tableau, de 1 à 9 pour simplifier avec une ligne de X et une de P, mais je ne vois pas où aller avec ça.

[gg0]

Considère l'expérience : "on prend un arbre et on vérifie s'il est gélif". Cette expérience a la probabilité 0,4 de réussir. Le comptage des gélifs parmi les 900 revient à effectuer 900 fois cette expérience, et à compter le nombre de réussites. Ce qui te donne une loi simple dont ton cours te donne le moyen de calculer la moyenne et l'écart type.

Je ne comprends pas trop pourquoi tu parles de corrélation ici, la question est pourtant simple. Et je suis un peu inquiet si ton cours ne parle pas plus globalement des variables aléatoires.

Cordialement.

[gg0]

Et j'ai compris que la probabilité était de 0,4, je me suis même fait un petit tableau, de 1 à 9 pour simplifier avec une ligne de X et une de P, mais je ne vois pas où aller avec ça.

Pourquoi de 1 à 9 ? Si c'est la loi de X que tu veux écrire en tableau, il te faut toutes les valeurs possibles de X, qui vont de 0 (pas de gélif) à 900 (tous gélifs). Tu veux vraiment écrire un tableau de 901 colonnes ?

[invite677af9fb]

Non, je ne veux pas vraiment faire un tableau à 901 colonnes !
C'était juste pour moi, pour y voir plus clair.

Je me replonge dans mes cours...

[gg0]

Normalement, dans ton cours, il devrait y avoir : "Le nombre de réussites à n épreuves indépendantes de même probabilité p suite la loi binomiale B(n,p)"

Cordialement.

NB : Vu que n est grand, on pourra approximer la loi binomiale par une loi Normale de même moyenne et même variance (cours).

Cordialement.

[invite677af9fb]

Pardon pour le retard, mais je suis parti en vacances dans l'entre temps...
Je crois avoir bien compris et avoir répondu correctement à mon exercice, merci beaucoup pour votre aide à tous les deux !