|sin(nx)| ≤ n|sin(x)|

[Latinus]

Bonjour,

Après longue réflexion, je n'aboutis pas à l'hérédité dans la démonstration par récurrence de la propriété suivante :
|sin(nx)| ≤ n|sin(x)|

Merci de votre aide,
Bonne journée,
Latinus.
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[gg0]

Bonjour.

Pourtant, ça marche sans problème en utilisant (n+1)x=nx+x et les propriétés de la valeur absolue (*).
Commence le calcul, on verra où tu bloques.

Cordialement.

(*)

[Latinus]

Bonjour,

Merci de votre réponse, et désolé du retard.
Voici ce que j'ai fait :

P(n) : |sin(nx)| ≤ n|sin(x)|

Initialisation : au rang n=0
|sin(0)|=0
Or 0≤0
Donc P(0) est vraie.

Hérédité : on suppose P(n) vraie Ã* partir d'un certain rang, et on cherche Ã* prouver P(n+1).

En l'occurrence,
P(n+1) : |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)| (1)

Or,
|sin(nx+x)|= |sin(nx)cos(x) + cos(nx)sin(x)|

Et,
|sin(nx)cos(x) + cos(nx)sin(x)| ≤ |sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)|

Donc,
|sin(nx+x)| ≤ |sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)|

Soit,
|sin((n+1)x)| ≤ |sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)| (2)

Et c'est lÃ* que je bloque... Je ne vois pas comment prouver que
n|sin(x)| + |sin(x)|
majore
|sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)|
ni comment utiliser l'hypothèse de récurrence...

Merci beaucoup,
Cordialement,
Latinus.

[gg0]

Ce qui est écrit est assez peu compréhensible, mais
|sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)| = |sin(nx)| |cos(x)| + |cos(nx)| |sin(x)|
et il est facile de majorer la valeur absolue d'un cos.

NB : Tu manques un peu d'imagination. Tu n'as pas dû essayer grand chose ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Latinus]

Bonsoir,

Merci de votre réponse.
Je ne connais pas les règles de valeur absolue.

Donc,

|sin((n+1)x)| ≤ |sin(nx)||cos(x)| + |cos(nx)||sin(x)|

|sin((n+1)x)| ≤ |sin(nx)| + |cos(nx)|

Ici on pourrait utiliser l'hypothèse de récurrence et le fait que le cosinus soit majoré par 1, mais je ne vois pas où ça nous mènerait.

|sin((n+1)x)| ≤ n|sin(x)| + 1

Mauvaise piste j'imagine, car on cherche
|sin((n+1)x)| ≤ (n+1)|sin(x)|

Cordialement,
Latinus.

NB : c'est plus facile d'avoir de l'imagination quand on a la réponse, et croyez-moi ce n'est pas très drôle de sécher... Mais merci de votre franchise, j'en apprends chaque jour sur ce forum, et je ne cherche qu'à progresser.

[gg0]

Il est quand même préférable de conserver les sin puisque la conclusion qu'on veut concerne les sinus !!!
Toi, tu les élimines en les majorant, alors que je t'ai parlé de majorer les cos, pas les sin.

Je n'avais pas la réponse, je ne connaissais pas cet exercice avant que tu le poses ici, mais j'agis intelligemment. Tu réagis plus que tu ne réfléchis, comme si faire un exercice de maths était une question de pure mémoire et écriture, pas un exercice intellectuel, où on cherche à atteindre un but à partir de l'énoncé et des théorèmes et définitions connus.
"Je ne connais pas les règles de valeur absolue." Eh bien tu les recherche (par exemple sur Internet), tu les apprends pour pouvoir faire des exercices qui en parlent. Ce n'est pas la peine de copier des corrigés d'exercices dont tu ne connais pas les règles utilisées, c'est à peu près aussi efficace que les punitions "copie 100 lignes" de nos instituteurs d'autrefois.

Donc mets toi vraiment à faire des maths : apprendre les règles, théorèmes et définitions, puis t'en servir pour traiter les questions.

Cordialement.

[Latinus]

Merci de vos conseils !