Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

stefoufoune · 15/04/2006 - 22h38

L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant: lim (lnx/x)=0
x tend vers +00
Partie A: étude de fonction:

V=racine carrée

On considère la fonction f définie sur ]0; +00[ par f(x)= lnx - Vx

1. calculer f'(x) et montrer que l'on a f'(x)= (2-Vx)/2x

2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0;+00[ (les limites ne sont pas demandées)

3.justifier alors que, pour tout x de ]0;+00[, on a: lnx < Vx

Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaison:

1.démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a:

0< lnx/x < 1/Vx

2. Démontrer lim (1/Vx)quand x tend vers +00.
En déduire lim (lnx/x) quand x tend vers +00.

Réponse:

Partie A:

1/ f'(x) = 1/x - 1/2Vx
f'(x)= 2/2x - 1/2Vx et la je dois faire comment pour arrivé à 2-Vx /2x?

2/ le tableau de variation def: la vaeur qui s'annule d ela dérivée c'est V2
dans le tableau du signe d ela dérivée, cela donne + et - soit la fonction f croissante jusqu'en V2 et puis décroissante jusqu'à +00.

3/ de 0 à V2 la fonction f est croissante et de V2 à +00 on a vu que la fonction f était décroissante donc lnx < Vx
Je n'arrive pas à l'expliquer..

Partie B:

1/ ..

2/ lim (1/Vx) = 0. car lim 1/x =0
quand x tend vers +00

donc lim lnx/x= 0

J'aimerai vrément que l'on m'aide à justifier ..

Merci.

Tonton Nano · 16/04/2006 - 10h50

Bonjour.

1) Tu peux reduire au meme dénominateur et après, multiplier le numérateur et le denominateur par $\sqrt{x}$ .

2) La dérivée ne s'annule pas en $\sqrt{2}$ mais en ...

Voila pour le début.
Bon courage

stefoufoune · 16/04/2006 - 11h15

je ne vois pas comment
je me retrouve à 2V1/ 2Vx - 1/2Vx ..

Tonton Nano · 16/04/2006 - 11h30

On a
$\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
On réduit au meme dénominateur
$\frac{2\sqrt{x}-x}{2x\sqrt{x}}$
Puis on multiplie en haut et en bas par $\sqrt{x}$
$\frac{2x-x\sqrt{x}}{2x^2}$
Puis on simplifie par x ...

stefoufoune · 16/04/2006 - 11h43

ahh d'accord merci beaucoup.
je pensais pas que l'on faisait comme sa.
Merci.

stefoufoune · 16/04/2006 - 12h18

lorsque x tend vers 0
f(x) < 0 puisque ln(x) vaut -oo quand x tends vers 0

Puis f croît jusqu’à x = 4. Pour x = 4, ln(x) – Vx = ln(4) – V4 = 1.38 – 2 < 0

Donc pour 0 < x < 4, ln(x) – x < 0

Puis f décroît pour x > 4, donc ne peut que rester négatif.

c'est cela?..

Partie B:
1/ on a vu que ln(x) – Vx < 0 donc en divisant par x > 0on obtient:

ln(x)/x < 1/Vx
donc lnx/x < 1/Vx
on peux faire comme sa?

Merci..

Tonton Nano · 16/04/2006 - 12h34

Envoyé par stefoufoune

lorsque x tend vers 0
f(x) < 0 puisque ln(x) vaut -oo quand x tends vers 0

Puis f croît jusqu’à x = 4. Pour x = 4, ln(x) – Vx = ln(4) – V4 = 1.38 – 2 < 0

Donc pour 0 < x < 4, ln(x) – x < 0

Puis f décroît pour x > 4, donc ne peut que rester négatif.

c'est cela?..

C'est parfait !

Envoyé par stefoufoune

Partie B:
1/ on a vu que ln(x) – Vx < 0 donc en divisant par x > 0on obtient:

ln(x)/x < 1/Vx
donc lnx/x < 1/Vx
on peux faire comme sa?

Oui mais n'oublie pas de préciser que x est positif sinon, il faut changer le sens de l'inégalité ...

Bon travail

stefoufoune · 16/04/2006 - 15h52

Partie B:
2.
0< lnx/x < 1/Vx pour x > 1 donc :
0 < lim (lorsque x tend vers +oo) de lnx/x < lim (lorsque x tend vers +oo) de 1/Vx

Or on sait que 1/Vx tend vers 0+ lorsque x tend vers +oo donc :
0 < lim (lorsque x tend vers +oo) de lnx/x < 0+ donc :
lim (lorsque x à+oo) de lnx/x = 0+

ce n'est pas le théorème du gendarme? non?