Notions sur le produit infini

[nowis]

Voila juste je n'ai pas fait la theorie sur les produits infinis, j'aborde juste la question dans un probleme donc il faut sans doute revenir a la definition de base mais j'y arrive pas...

Soit la serie Un tel que Sigma un converge et Sigma Un² diverge
de plus valeur absolue de un est strictement inferieur à 1

Voila on me demande de montrer que le pif produit de (1+Un) converge et que sa valeur est nulle... Vous avez quelques idées ?
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[indian58]

prends le log et pose vn=log(1+un).

[Romain-des-Bois]

Pour préciser ce que dit Indian :
séries et produits infinis, c'est pareil, il suffit de prendre le log...

[Ksilver]

Salut !

c'est quand assez technique au final je trouve :

il faut prendre le log et faire un Dl à l'ordre 2 : (c'est possible car |Un|<1, donc 1+Un>0

ln(produit des 1+un) = somme des ln(1+un)

ln(1+un) = Un -Un²/2 +O(Un^3)

soit k la constante du O (ie O(Un^3) <k*|Un|^3 )

somme des Un converge, donc Un->0, donc |Un|<1/3k à partir d'un certain rang.

donc à partir d'un certain rang :

on a alors ln(1+un) = Un -Un²/2 +Tn, avec |Tn|<Un^2/3

et donc somme des Un converge, et somme des -Un²/2+Tn < somme des -Un²/6 -> -l'infinit.

donc le log tend vers moins l'infinit, donc le produit tend vers 0 !